6.3.2 二项式系数的性质 第1课时 二项式系数的性质(强基课梯度进阶式教学) 课时目标 理解二项式系数的性质并灵活运用;掌握“赋值法”并会灵活应用. 1.对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上,这一性质可直接由 得到.直线 将函数f(r)=的图象分成对称的两部分,它是图象的对称轴. 2.增减性与最大值 (1)当k<时,随k的增加而 ;由对称性知,当k>时,随k的增加而 . (2)当n是偶数时,中间的一项取得最大值;当n是奇数时,中间的两项与相等,且同时取得最大值. 3.各二项式系数的和 (1)+++…+= . (2)+++…=+++…= . 微点助解 (1)从n个不同元素中任取m个元素的组合与任取n-m个元素的组合是一一对应的,因此=,故二项式系数有对称性. (2)二项式系数最大与n的奇偶有关系, ①n为偶数,展开式中有n+1项,最中间一项的二项式系数最大; ②n为奇数,展开式中的n+1项是偶数,最中间两项的二项式系数最大. [基点训练] 1.(1-2x)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大,则n= ( ) A.9 B.10 C.11 D.12 2.设(1+x)n=a0+a1x+…+anxn(n∈N*),若a1=a5,则n的值为 ( ) A.4 B.6 C.7 D.8 3.(1-x)20的展开式中,二项式系数最大的项是第 ( ) A.9项 B.10项 C.11项 D.12项 4.若(x-1)4=a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a4-a3+a2-a1+a0= ( ) A.-1 B.16 C.15 D.1 题型(一) 各二项式系数的和 [例1] 的展开式中所有二项式系数的和是 ;展开式中所有偶数项的二项式系数的和是 .(用数字作答) 听课记录: [思维建模] (a+b)n的展开式的各二项式系数的和为2n. [针对训练] 1.已知(1+2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数的和为 ( ) A.512 B.210 C.211 D.212 2.已知(x-my)n的展开式中二项式系数之和为64,x3y3的系数为-160,则实数m= . 题型(二) 利用赋值法求解系数和问题 [例2] 已知(2x-1)5=a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5.求下列各式的值: (1)a0+a1+a2+…+a5; (2)|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|; (3)a1+a3+a5. 听课记录: [变式拓展] 本例条件不变,求5a0+4a1+3a2+2a3+a4的值. [思维建模] 二项展开式中系数和的求法 (1)①二项式系数和为+++…+=2n,其中奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和相等,都等于2n-1. ②求二项展开式各项系数之和,往往采用赋值法,对变量赋值计算可得. (2)一般地,对于多项式f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn,各项系数和为f(1),奇次项系数和为[f(1)-f(-1)],偶次项系数和为[f(1)+f(-1)],a0=f(0). [针对训练] 3.设(1-2x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024(x∈R). (1)求a0的值; (2)求a1+a2+a3+…+a2 024的值; (3)求a1+a3+a5+…+a2 023的值. 题型(三) 二项式系数的增减性与最值 [例3] 在的展开式中, (1)求二项式系数最大的项; (2)系数的绝对值最大的项是第几项 听课记录: [变式拓展] 在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项. [思维建模] 二项式系数的最大项的求法 求二项式系数的最大项,根据二项式系数的性质对(a+b)n中的n进行讨论. (1)当n为奇数时,中间两项的二项式系数最大. (2)当n为偶数时,中间一项的二项式系数最大. [针对训练] 4.若的展开式中的第3项与第4项的二项式系数相等且都为最大,则展开式中的常数项为 ( ) A.6 B.-6 C.- D. 5.(2024·全国甲卷)的展开式中,各项系数中的最大值为 . 第1课时 二项式系数的性质 课前环节 1.= r= 2.(1)增大 减小 3.(1)2n (2)2n-1 [基点训练] 1.选B 因为(1-2x)n展开式中,二项式系数最大的项只有第6项,根据二项式系数的性质,展开式中中间项的二项式系数最大,所以n+1=11,解得n=10. 2.选B 由题知,a1=,a5=,因为a1=a5,所以=,所以n=1+5=6. 3.选C 由二项式定 ... ...
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