1.2 空间向量基本定理 【课时目标】 掌握重难点 空间向量基本定理 突破易错点 四点共面的判断 【课堂巩固】 重难点1 基底满足的条件 1.若p:{a,b,c}为空间的一个基底,q:a,b,c是三个非零向量,则p是q的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 重难点2 用基底表示向量 2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,则= ( ) A.a+b+c B.a-b+c C.-a+b+c D.-a-b+c 易错点 四点共面的判断 3.已知{e1,e2,e3}为空间的一个基底,且=5e1-e2-4e3,=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3.试判断P,A,B,C四点是否共面. 【课后必刷】 1.下列结论正确的是 ( ) A.空间的基底有且只有三个 B.三个非零向量可构成空间的一个基底 C.基底{a,b,c}中的基向量与基底{e,f,g}中的基向量对应相等 D.任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底 2.设e1,e2,e3是不共面的三个单位向量,则下列向量组能作为空间的一个基底的是 ( ) A.{e1-e3,e2+e3,e1+e2} B.{e1+e3,e2-e3,e1+e2} C.{e1-e2,e2-2e3,2e3-e1} D. 3.如图,已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是对边OA,BC的中点,点G在线段MN上,且2GN=5MG,现用向量,,表示向量.设=x+y+z,则2(x-y)-3z= . 4.如图,已知正方体ABCD-A'B'C'D',点E是A'C'的中点,若='+x+y,则x+y=( ) A. B.1 C. D.2 5.[教材习题变式]如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,点O为空间内任意一点,设=a,=b,=c,则向量可用a,b,c表示为 ( ) A.a-b+2c B.a-b-2c C.-a+b+c D.a-b+c 6.如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1,BD的中点,点G在CD上,且CG=CD.求: (1)·; (2)·. 7.[高考导向衔接](多选题)点P是矩形ABCD所在平面外的一点,且PA⊥平面ABCD,M,N分别是PC,PD上的点,=,=,若=x+y+z,则 ( ) A.x=- B.y= C.z= D.x+y+z=- 8.如图,在三棱锥P-ABC中,点G为△ABC的重心,点M在PG上,且PM=3MG,过点M任意作一个平面分别交线段PA,PB,PC于点D,E,F.若=m,=n,=t,求证++为定值,并求出该定值. 9.某工厂生产一种直三棱柱形的零件,形状如图所示,已知∠ABC=120°,AB=20 cm,BC=CC1=10 cm,求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值. 参考答案 1.A 解析:空间中不共面的三个向量可以作为空间的一个基底,若a,b,c是三个共面的非零向量,则{a,b,c}不能作为空间的一个基底.若{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c不共面,所以a,b,c是三个非零向量,所以p是q的充分不必要条件.故选A. 2.C 解析:=+=-+=b-a+c=-a+b+c. 3.解析:假设存在实数x,y,z使=x+y+z,即5e1-e2-4e3=x(e1+2e2-e3)+y(-3e1+e2+2e3)+z(e1+e2-e3),比较对应项的系数,得到关于x,y,z的方程组解得 综上,满足x+y+z=1,故P,A,B,C四点共面. 1.D 解析:空间的基底有无数个,A项错误;三个非零向量若共面,则不能构成空间的一个基底,B项错误;基底{a,b,c}中的基向量与基底{e,f,g}中的基向量不一定对应相等,C项错误;任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底,D项正确. 2.D 解析:∵e1-e3=(e1+e2)-(e2+e3),∴e1-e3,e2+e3,e1+e2为共面向量,不能作为空间的一个基底. ∵(e1+e3)+(e2-e3)=e1+e2,∴e1+e3,e2-e3,e1+e2为共面向量,不能作为空间的一个基底. ∵(e1-e2)+(e2-2e3)=e1-2e3=-(2e3-e1),∴e1-e2,e2-2e3,2e3-e1为共面向量,不能作为空间的一个基底.D选项中的三个向量不共面,能作为空间的一个基底. 3.0 解析:∵2GN=5MG, ∴=+=+ =+(-)=+(+) =++. ∴x=,y=,z=,∴2(x-y)-3z=2x-2y-3z=--=0. 4.B 解析:取基底', , , 所以 = '+ = '+ = '+ (+ )= '+ + , 所以x=y=,即x+y=1.故选B. 5.D 解析:=+=+=+(-)=a-b+c. 6.解析:设=a,=b,=c,{a,b,c}构成空间的一个基底, 且|a|=|b|=|c|=1,
===. (1)=-=-=(a+b-c), =+=+=-(b+c), ∴·=-(a+b-c)·(b+c)=-(a·b+a·c+b2+b·c-c ... ... 
