10.1.3 两角和与差的正切(教学方式:深化学习课———梯度进阶式教学) [课时目标] 1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式. 2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明. 3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形,并能灵活应用. 两角和与差的正切公式 名称 简记符号 公式 使用条件 两角和 的正切 公式 T(α+β) tan(α+β)= _____ α,β,α+β≠kπ+(k∈Z) 且tan α·tan β≠1 两角差 的正切 公式 T(α-β) tan(α-β)=_____ α,β,α-β≠kπ+(k∈Z)且tan α·tan β≠-1 |微|点|助|解| (1)结构特征:公式T(α±β)的右侧为分式形式,其中分子为tan α与tan β的和或差,分母为1与tan αtan β的差或和. (2)符号规律:分子同,分母反. (3)T(α±β)可变形为如下形式: ①tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β)或②1 tan αtan β=.当α±β为特殊角时,常考虑使用变形①,遇到1与切的乘积的和(或差)时常用变形②. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)两角和与差的正切公式对tan是适用的. ( ) (2)tan α+tan β=tan(α+β)(1+tan α·tan β). ( ) (3)1+tan α·tan β=. ( ) 2.若tan α=3,tan β=,则tan(α-β)等于 ( ) A. B.- C.3 D.-3 3.已知tan α=2,则tan= . 4.= . 题型(一) 两角和与差正切公式的简单应用 [例1] (1)若tan=,则tan α= . (2)已知α,β均为锐角,tan α=,tan β=,则α+β= . 听课记录: |思|维|建|模| 利用正切的和差公式解题的两个题型及解题策略 (1)关于求值问题,利用角的代换,将所求角转化为已知角的和与差,再根据公式求解. (2)关于求角问题,先确定该角的某个三角函数值,再根据角的取值范围确定该角的大小. [针对训练] 1.(2024·全国甲卷)已知=,则tan= ( ) A.2+1 B.2-1 C. D.1- 2.已知tan α=2,tan β=-,其中0<α<,<β<π.求α+β的值. 题型(二) 两角和与差正切公式的逆用 [例2] 计算:= ( ) A.- B. C.- D. 听课记录: |思|维|建|模| 一方面要熟记公式的结构,另一方面要注意常值代换.如tan=1,tan=,tan=等.要特别注意tan=,tan=. [针对训练] 3.化简求值:. 题型(三) 两角和与差正切公式的变形用 [例3] (1)tan 23°+tan 37°+tan 23°tan 37°的值是 . (2)= . 听课记录: |思|维|建|模| 当化简的式子中出现“tan α±tan β”与“tan αtan β”形式时,要把它们看成两个整体,这两个整体一是与两角和与差的正切公式有关,通过公式能相互转换,二是这两个整体还与根与系数的关系相似,在应用时要注意隐含的条件,能缩小角的范围. [针对训练] 4.tan 87°tan 33°-tan 87°-tan 33°= ( ) A. B.- C. D.- 5.若1+tan α+tan β-tan αtan β=0,且α,β∈,则α+β= . 10.1.3 两角和与差的正切 课前预知教材 [基础落实训练] 1.(1)× (2)× (3)× 2.选A 原式===. 3.解析:tan===-3. 答案:-3 4.解析:原式=tan(75°-15°)=tan 60°=. 答案: 课堂题点研究 [例1] 解析:(1)法一 ∵tan===, ∴6tan α-6=1+tan α(tan α≠-1), ∴tan α=. 法二 tan α=tan ===. (2)∵tan α=,tan β=, ∴tan(α+β)===1. ∵α,β均为锐角,∴α+β∈(0,π).∴α+β=. 答案:(1) (2) [针对训练] 1.选B 根据题意有=,即1-tan α=,所以tan α=1-,所以tan===2-1, 故选B. 2.解:把tan α=2,tan β=-代入, 得tan(α+β)= ==1. 因为0<α<,<β<π. 所以<α+β<.所以α+β=. [例2] 选A 原式====-=-=-.故选A. [针对训练] 3.解:原式= =tan(45°-15°)=tan 30°=. [例3] 解析:(1)∵tan 60°= =, ∴tan 23°+tan 37°=-tan 23°tan 37°. ∴tan 23°+tan ... ...
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