(课件网) 八上数学 RJ 综合与实践 最短路径问题 第十五章 轴对称 1.能够将生活中的最短路径问题抽象并转化为数学问题，增强问题 转化和抽象能力. 2.能利用轴对称、平移的相关知识解决简单的最短路径问题，体会 图形变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想，增强应用意识． 1.如图，连接A，B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？ 2.如图，点P是直线l外一点，点P与直线l上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？ A B ① ② ③ ②最短.因为“两点之间，线段最短”. P l A B C D PC最短.因为“垂线段最短”. 日常生活中经常会遇到最短路径问题，从数学的角度看，这类问题抽象为几何问题后，常常是求线段和的最小值问题.在前面的学习中，我们知道，“两点之间，线段最短” “连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等，接下来我们对最短路径问题进行探究. 活动目标 会用数学的眼光发现生活中的最短路径问题；会用数学知识、思想、方法描述最短路径问题，把最短路径问题转化为数学问题；会通过逻辑推理解决数学问题；会用数学问题的结果解释最短路径问题，获得最短路径问题的答案. 活动准备 1.查阅资料，列举生活中的最短路径问题. 2.了解光行最速原理：光线所行进的“光程”最短，即光行进的时间最短. 光行最速原理 如图，MN是光学性质不同的两个均匀媒质的分界面，当入射光线从第一媒质射到分界面时，形成反射光线和折射光线.反射光线传回第一媒质，折射光线进入第二媒质.入射光线与分界面的法线组成的角，叫作入射角；而反射光线、折射光线与分界面的法线组成的角，分别叫作反射角、折射角. 光行最速原理，也称为费马原理，是几何光学中的一个基本原理，它揭示了光线传播路径选择的规律. 经过实验，人们发现了光线的反射定律与折射定律.反射定律说的是光线的入射角等于反射角；折射定律说的是光线的入射角与折射角之间有一个特定的数量关系，1657年，法国数学家费马(P.Fermat， 1601一1665)将光线的反射定律与折射定律统一起来，提出著名的光行最速原理：光线所行进的“光程”最短.简略地说，光行进的时间最短.用在光线的反射定律就是，当光线行进时入射角等于反射角，光行进的时间最短.由于是在同一媒质中传播，因而也就是光线行进的路程最短. 光行最速原理不仅帮助我们理解光的传播规律(如反射定律和折射定律)，还为光学系统的设计和分析提供了理论依据.通过光行最速原理，可以解决许多实际问题，例如优化光学元件的形状、设计最短路径的光学系统等. 光行最速原理不仅适用于光学问题，也可以用来解决一些几何优化问题，例如寻找周长最小的内接三角形.通过将几何问题转化为光线路径问题，可以利用光行最速原理来寻找最优解. 活动任务 活动一：牧民饮马问题 活动二：牧民饮马问题的拓展 活动三：造桥选址问题 任务1 如图，牧民从A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地. 牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？ l B A C 提示：从数学的角度看，如果把河边l近似地看成一条直线，问题就是要在直线l上找一点C，使AC与CB的和最小. l B A C 思考 (1)如果点A，B是直线l异侧的两个点，如何在l上找一点C，使AC与CB的和最小？ C 解：根据“两点之间，线段最短”可知，连接AB交直线l于点C，此时AC与CB的和最小. 思考 (2)在任务1中，点A，B在直线l的同侧，你能利用轴对称，把这个问题转化为(1)中的问题吗？ l B A C B′ C 解：如图，作点B关于直线l的对称点B′，则B′C=BC，AC与BC的和最小转化为AC与B′C的和最小. 连接AB′交直线l于点C，此时点C就是所求的饮马点. （说明：也可作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于点C） 任务2 证明你 ... ...
