第一章 直角三角形的边角关系 重难点分类练（含答案）2025-2026学年数学北师大版九年级下册

第一章　直角三角形的边角关系 . . . . . 　记错特殊角的三角函数值而致错 【例1】在△ABC中，若（cos A－）2＋｜tan B－｜＝0，则△ABC的形状为（　 　）. A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.钝角三角形 　　错因分析：记错三角函数值；实际解题中一定要牢记特殊角的三角函数值，可从想象其实际原理进行推理得出，这样会把握得牢固些. 1.下列计算错误的是（　 　）. A.sin 60°－sin 30°＝sin 30° B.sin245°＋cos245°＝1 C.tan 60°＝ D.sin 30°＝cos 60° 　求三角函数值，忽视直角三角形而致错 【例2】 如图，在△ABC中，AB＝1，AC＝，sin B＝，求BC的长. 　　错因分析：忽视直角三角形条件，误认为sin B＝；实际解题中要清楚地知道，目前所学的三角函数值都是在直角三角形中成立的，一定要先构造成直角三角形方可运用三角函数值解题. 2.如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sin A的值是　 　. 　忽视锐角三角函数的取值范围而致错 【例3】 若α为锐角，且2cos2α＋7sin α－5＝0，求sin α的值. 　　错因分析：忽视当α为锐角时，0＜sin α＜1，0＜cos α＜1的范围；解题中要清楚地知道，目前所学的三角函数值都是正数，若题目中出现了负数值，就要根据具体的题意进行取舍. 3.如图，在直角坐标系中，P是第二象限的点，其坐标是（x，8），且OP与x轴的 负半轴的夹角α的正切值是，则x＝　 　，cos α＝　 　. 　考虑问题不全面而致错 【例4】 在一个含30°角的直角三角形中，一条边的长为1，另一条边的长为2，那么这个三角形的面积为　 　. 　　错因分析：误认为2可为直角边，实际解题中要考虑全面，避免漏解或不符合题意的解，要记得及时验算是否符合实际. 4.在△ABC中，若∠B＝45°，AB＝10，AC＝5，则△ABC的面积是　 　. 　锐角三角函数的定义 　　在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的正弦：sin A＝＝；∠A的余弦：cos A＝＝；tan A＝＝.锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数.牢牢掌握好正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关. 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，则tan A的值是　 　. 2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，sin A＝，则边AB的长为　 　. 3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，tan A＝.求AC的长，sin A和tan B的值. 　30°，45°，60°角的三角函数值及其综合计算 　　掌握好30°，45°，60°角的三角函数值，利用好余角三角函数关系：“正余互化公式” ，如果∠A＋∠B＝90°，那么sin A＝cos B， cos A＝sin B. 4.计算2 0210＋｜2－tan 60°｜的值为（　 　）. A.3＋ B.3－ C.－3 D.＋1 5.（1）已知α是锐角，且cos α＝，那么α＝　 　. （2）若tan （α－10°）＝1，则锐角α＝　 　. 6.计算：（1）｜－2｜＋2cos 30°－（－）2＋； （2）－2cos 45°＋（π－tan 60°）0； （3）÷2 0210－2sin 60°－｜1－｜. 　解直角三角形 　　解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如边边关系：勾股定理，即a2＋b2＝c2；边角关系：锐角三角函数. 7.（2024秋·光明区校级期中）如图，四边形ABCD，AD＝AB＝BC，∠ACD＝30°，cos∠BAC＝，CD＝2，则AC＝　 　. 第7题图 8.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，过点B作BQ∥AC，在BQ上取一点D，连接CD，AD，若AC＝CD，BD＝，则AD＝　 　. 第8题图 9.如图，在△ABC中，AB＝13，AC＝8，cos∠BAC＝，BD⊥AC，垂足为点D，E是BD的中点，连接AE并延长，交边BC于点F. （1）求∠EAD的正切值； （2）求的值. 　三角函数的应用 　　解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某 ... ...