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课件网) 1.3 课时3 反证法 1.理解反证法的概念，掌握反证法的证明步骤，会用反证法证明一些简单的数学命题.（重点） 2.会正确地提出反设，以及如何根据反设推出矛盾.；（难点） 王戎七岁的时候，曾经和小朋友们一起玩耍.看见路边有株李子树，结了很多李子，枝条都被压弯了.那些小朋友都争先恐后地跑去摘，只有王戎没有动.有人问他为什么不去摘李子，王戎回答说：“这树长在路旁，却有这么多李子，这李子一定是苦的.” 大家摘来一尝，果然是苦的. 思考：王戎是怎么知道李子是苦的呢？他的判断方法可靠吗？ 当一个命题从已知条件出发不易直接证得结论时,还有其他方法吗 证明平行线的性质定理Ⅰ:两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等. 已知:如图,直线AB∥CD,直线EF与AB,CD分别相交于点G,H. 求证:∠1=∠2. 这个命题好证吗？ 证明:假设∠1≠∠2. 过点G作直线A'B',使∠EGB'=∠2. 所以A'B'∥CD(同位角相等,两直线平行). 因为AB∥CD(已知), 所以过点G就有两条直线AB,A'B'与直线CD平行. A' B' 这与基本事实 “过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾. 所以∠1≠∠2的假设是不成立的. 所以∠1=∠2 思考：这种证明方法有怎样的特点 它包括了哪几个步骤 你能总结一下吗？ 这种先提出与命题的结论相反的假设,再从假设出发推出矛盾,从而证明命题成立的方法叫作反证法. 反设 推出矛盾 结论 用反证法证明一个命题,一般有三个步骤: 否定结论———假设命题的结论不成立; 推出矛盾———从假设出发,根据已知条件,经过推理,得出一个与命题的条件、定义、基本事实、定理等相矛盾的结果; 肯定结论———由矛盾判定假设不成立,从而证明命题成立. 1 2 3 例 证明:平行于同一条直线的两条直线平行. 已知:如图,直线a∥c,b∥c. 求证:a∥b. 证明:假设直线a与b不平行,那么a与b相交,设交点为P. 因为a∥c,b∥c(已知), 所以过点P有两条直线与直线c平行. 这与基本事实 “过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾. 所以直线a与b不平行的假设是不成立的. 所以a∥b. P 1.用反证法证明:一个三角形中不可能有两个直角. 证明:假设在△ABC中有两个角是直角, 不妨设∠A=90°， ∠B=90°, 可得∠A+ ∠B=180°， 则∠A+∠B+∠C＞180°， 这与“三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°” 相矛盾，因此△ABC中不可能有两个直角， 练一练 2.用反证法证明:在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45°. 证明:假设在直角三角形中两个锐角都大于45°, 则两锐角和大于90°， 这与“直角三角形中两锐角互余” 相矛盾， 因此在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45°. 什么样的命题适合用反证法证明呢？ 直接证明有困难 否定性命题 唯一性命题 至多、至少型命题 正难则反 1.完成下面的证明过程： 已知：如图，直线l1，l2， l在同一平面内，且l1 l，l2 l. 求证：l1//l2. 证明：假设 ，则l1与l2相交，设l1与l2交于点P.由已知条件 ， 得知， 过点P有两条直线与直线l垂直， 这与“ ”相矛盾，所以，“假设 ”不成立，故 . l1与l2不平行 l1 l l2 l 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 l1与l2不平行 l1//l2 l1 l2 P l 2. 用反证法证明：等腰三角形的底角一定是锐角. 分析：由题目分析，“一定是锐角”的反面就是“不是锐角”，即是直角或钝角，因此应分两种情况讨论. 证明：假设∠B,∠C不是锐角，则∠B,∠C是直角或钝角. （1）若∠B,∠C是直角，即∠B=∠C=90°， 故∠A+∠B+∠C >180°, 这与三角形的内角和定理矛盾， 所以∠B,∠C不是直角. A B C （2）若∠B,∠C是钝角，即∠B=∠C >90°， 故∠A+∠B+∠C >180°, 这与三角形的内角和定理矛盾， 所以∠B,∠C不是钝角. 综上所述，∠B,∠C不是直角也 ... ...
