6.2.3 向量的数乘运算 1.已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的有（ ） ①m（a－b）＝ma－mb；②（m－n）a＝ma－na； ③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n. A.①④ B.①② C.①③ D.③④ 2.设D为△ABC所在平面内一点，＝2，E为BC的中点，则＝（ ） A.＋ B.＋ C.－ D.－ 3.（2024·广州月考）在梯形ABCD中，＝4，＋＝x＋y，则x－y＝（ ） A.5 B.6 C.－5 D.－6 4.（2024·温州月考）设e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k＝（ ） A.－ B.－ C. D. 5.（多选）下列说法正确的有（ ） A.λa与a的方向不是相同就是相反（λ∈R且λ≠0，a≠0） B.若a∥b，则b＝λa，其中λ∈R且唯一 C.若｜b｜＝2｜a｜，则b＝±2a D.若b＝±2a，则｜b｜＝2｜a｜ 6.（多选）已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是（ ） A.2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e B.存在相异的实数λ，μ，使λa＋μb＝0 C.已知正五边形ABCDE，其中＝a，＝b D.已知梯形ABCD，其中＝a，＝b 7.已知向量a，b满足｜a｜＝3，｜b｜＝5，且a＝λb，则实数λ＝ . 8.（2024·厦门月考）已知a，b是平面内两个不共线向量，＝2a＋mb，＝3a－b，且A，B，C三点共线，则实数m的值为 . 9.如图所示，在正方形ABCD中，E为BC的中点，F为AE的中点，则＝ .（用，表示） 10.化简：（1）5（3a－2b）＋4（2b－3a）； （2）（a－2b）－（3a－2b）－（a－b）； （3）（x＋y）a－（x－y）a. 11.已知a，b为不共线的非零向量，＝a＋5b，＝－2a＋8b，＝3a－3b，则（ ） A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线 C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线 12.如图，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，＝2，若＝x＋y，则x＋y＝（ ） A. B.－ C.－6 D.6 13.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若＝a，＝b，则用a，b可表示为 . 14.设两个非零向量a与b不共线. （1）若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b）.求证：A，B，D三点共线； （2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb反向共线. 6.2.3 向量的数乘运算 1.B 对于①，m（a－b）＝ma－mb，故①中命题正确；对于②，（m－n）a＝ma－na，故②中命题正确；对于③，当m＝0时，由0·a＝0·b，不能得到a＝b，故③中命题错误；对于④，当a＝0时，由ma＝na，不能得到m＝n，故④中命题错误.故选B. 2.A 因为＝2，E为BC的中点，所以＝＋＝＋＝＋（－）＝＋，故选A. 3.B 因为＝4，所以＋＝（＋）＋4＝－5.所以x－y＝1－（－5）＝6，故选B. 4.B 因为A，B，D三点共线，故存在一个实数λ，使得＝λ，又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，所以＝－＝3e1－2ke2－（ke1＋e2）＝（3－k）e1－（2k＋1）e2，所以3e1＋2e2＝λ（3－k）e1－λ（2k＋1）e2，所以解得k＝－. 5.AD 当λ＞0时，a与λa方向相同，当λ＜0时，a与λa方向相反，故A正确；当a≠0时，结论才成立，故B错误；当｜b｜＝2｜a｜时，b与2a不一定共线，C错误；显然当b＝±2a时，｜b｜＝2｜a｜，故D正确. 6.AB 选项A，由2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e，可得a＝e，b＝－e，则b＝－4a，故a，b共线；选项B，不妨设λ≠0，则有a＝－b，故a，b共线；选项C，a，b显然不共线；选项D，当AB，CD分别为梯形的两腰时，直线AB，CD是相交直线，则向量a，b不共线，故选A、B. 7.± 解析：由a＝λb，得｜a｜＝｜λb｜＝｜λ｜｜b｜.∵｜a｜＝3，｜b｜＝5，∴｜λ｜＝，即λ＝±. 8.－ 解析：因为＝2a＋mb，＝3a－b，且A，B，C三点共线，所以存在唯一的实数λ，使得＝λ，即2a＋mb＝3λa－λb.解得λ＝，m＝－. 9.－ 解析：利用向量的三角形法则，可得＝ ... ...
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