(课件网) 培优课 数列的函数特征 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 题型一 数列的周期性 【例1】 数列{ an }满足 an＋1＝1－ ，且 a1＝2，则 a20＝（ ） A. B. －1 C. 2 D. 1 解析： 由 an＋1＝1－ 及 a1＝2，得 a2＝ ， a3＝－1， a4＝2，至 此可发现数列{ an }是周期为3的周期数列：2， ，－1，2， ，－ 1，….而20＝6×3＋2，故 a20＝ a2＝ . 通性通法 利用数列的周期性求数列中某一项的步骤 （1）根据已知的数列的递推公式，写出数列的前几项，观察项与项 之间的关系直至出现重复的项； （2）确定该数列的周期； （3）利用周期性求出要求的项. 【跟踪训练】 （2024·临沂质检）数列{ an }满足 a1＝3， a2＝6， an＋2＝ an＋1－ an ， 则 ＝ . 解析：由 a1＝3， a2＝6， an＋2＝ an＋1－ an ，得 a3＝ a2－ a1＝3， a4＝ a3 － a2＝－3， a5＝ a4－ a3＝－6， a6＝ a5－ a4＝－3， a7＝ a6－ a5＝3， a8＝ a7－ a6＝6，…，所以数列{ an }是以6为周期的周期数列，所以 ＝ a6×337＋3＝ a3＝3. 3 题型二 数列的单调性及其应用 角度1 数列单调性的判断 【例2】 已知数列{ an }的通项公式为 an ＝3 n2－ n （ n ∈N*），判断 该数列的单调性. 解：法一 an ＝3 n2－ n ， an＋1＝3（ n ＋1）2－（ n ＋1）， 则 an＋1－ an ＝3（ n ＋1）2－（ n ＋1）－（3 n2－ n ）＝6 n ＋2＞0， 即 an＋1＞ an ，故数列{ an }是递增数列. 法二 an ＝3 n2－ n ， an＋1＝3（ n ＋1）2－（ n ＋1）， 则 ＝ ＝ · ＞1. 又易知 an ＞0，故 an＋1＞ an ，即数列{ an }是递增数列. 通性通法 解决数列的单调性问题的两种方法 （1）作差比较法：根据 an＋1－ an 的符号判断数列{ an }是递增数列、 递减数列或是常数列； （2）作商比较法：根据 （ an ＞0或 an ＜0）与1的大小关系进 行判断. 角度2 数列单调性的应用 【例3】 （2024·福州质检）已知数列{ an }的通项公式为 an ＝（ n ＋ 1）·（ ） n （ n ∈N*），试问该数列有没有最大项？若有，求出最大 项和最大项的项数；若没有，说明理由. 解：法一 ∵ an＋1－ an ＝（ n ＋2）（ ） n＋1－（ n ＋1）·（ ） n ＝ （ ） n · . ∴当 n ＜8时， an＋1－ an ＞0，即 an＋1＞ an ； 当 n ＝8时， a9－ a8＝0，即 a9＝ a8； 当 n ＞8时， an＋1－ an ＜0，即 an＋1＜ an ； 故 a1＜ a2＜…＜ a8＝ a9＞ a10＞ a11＞…， ∴数列{ an }中最大项为 a8或 a9， 其值为9·（ ）8，其项数为8或9. 法二 根据题意，令 即 解得8≤ n ≤9. 又 n ∈N*，则 n ＝8或 n ＝9. 故数列{ an }有最大项，为第8项和第9项， 且 a8＝ a9＝9·（ ）8. 通性通法 求数列最大项与最小项的常用方法 （1）函数法：利用相关的函数求最值.若能借助表达式观察出单调 性，直接确定最大（小）项，否则，利用作差法； （2）利用（ n ≥2）确定最大项，利用（ n ≥2）确定最小项. 【跟踪训练】 1. 若数列{ an }的通项公式为 an ＝ ，则此数列是（ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 以上都不是 解析： 因为 an ＝ ＝2－ ，所以当 n ≥2时， an － an－1＝ （2－ ）－（2－ ）＝ － ＝ ＞0，所以数列{ an } 是递增数列. 2. 已知数列{ an }的通项公式为 an ＝ n －7，则数列{ nan }的最小项为 第 项. 解析： nan ＝ n （ n －7）＝ n2－7 n ＝（ n － ）2－ .因为 n ∈N*， 所以当 n ＝3或 n ＝4时，数列{ nan }的项最小. 3或4 1. 已知数列{ an }满足 an ＞0，且 an＋1＝ an ，则数列{ an }是（ ） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 以上都不是 解析： 因为 ＝ ＜1， an ＞0，所 ... ...
