(课件网) 培优课 导数中函数的构造问题 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 题型一 利用 f （ x ）与 x 构造 【例1】 （2024·厦门质检）已知 f （ x ）的定义域为（0，＋∞），f' （ x ）为 f （ x ）的导函数，且满足 f （ x ）＜－xf'（ x ），则不等式 f （ x ＋1）＞（ x －1） f （ x2－1）的解集是（ ） A. （0，1） B. （2，＋∞） C. （1，2） D. （1，＋∞） 解析： 构造函数 y ＝ xf （ x ）， x ∈（0，＋∞），则y'＝ f （ x ）＋ xf'（ x ）＜0，所以函数 y ＝ xf （ x ）在（0，＋∞）上是减函数.又因 为 f （ x ＋1）＞（ x －1） f （ x2－1），所以（ x ＋1） f （ x ＋1）＞ （ x2－1） f （ x2－1），所以 x ＋1＜ x2－1，且 x2－1＞0， x ＋1＞0， 解得 x ＞2，所以不等式 f （ x ＋1）＞（ x －1）· f （ x2－1）的解集是 （2，＋∞）. 通性通法 常见构造函数的形式 （1）对于f'（ x ）±g'（ x ）＞0，构造 h （ x ）＝ f （ x ）± g （ x ）； （2）对于f'（ x ）＞ a ，构造 h （ x ）＝ f （ x ）－ ax ； （3）对于xf'（ x ）＋ f （ x ）＞0，构造 h （ x ）＝ xf （ x ）； （4）对于xf'（ x ）－ f （ x ）＞0，构造 h （ x ）＝ . 【跟踪训练】 设函数f'（ x ）是奇函数 f （ x ）（ x ∈R）的导函数， f （－1）＝0， 当 x ＞0时，xf'（ x ）－ f （ x ）＜0，则使得 f （ x ）＞0成立的 x 的取值 范围是（ ） A. （－∞，－1）∪（0，1） B. （－1，0）∪（1，＋∞） C. （－∞，－1）∪（－1，0） D. （0，1）∪（1，＋∞） 解析：令 F （ x ）＝ ，因为 f （ x ）为奇函数，所以 F （ x ） 为偶函数，由于F'（ x ）＝ ，当 x ＞0时，xf'（ x ）－ f （ x ）＜0，即F'（ x ）＜0，所以 F （ x ）＝ 在（0，＋∞）上 单调递减，根据偶函数图象的对称性， F （ x ）＝ 在（－∞， 0）上单调递增，又 F （1）＝ F （－1）＝ ＝0，数形结合可 知，使得 f （ x ）＞0成立的 x 的取值范围是（－∞，－1）∪（0，1）. 题型二 利用 f （ x ）与e x 构造 【例2】 （2024·绍兴月考）若函数 f （ x ）对任意 x ∈R都有f'（ x ） ＞ f （ x ）成立，则（ ） A. 3 f （ln 5）＞5 f （ln 3） B. 3 f （ln 5）＝5 f （ln 3） C. 3 f （ln 5）＜5 f （ln 3） D. 3 f （ln 5）与5 f （ln 3）的大小不确定 解析： 令 g （ x ）＝ ，则g'（ x ）＝ ，因为对任 意 x ∈R都有f'（ x ）＞ f （ x ），所以g'（ x ）＞0，即 g （ x ）在R上是 增函数.又ln 3＜ln 5，所以 g （ln 3）＜ g （ln 5），即 ＜ ，所以5 f （ln 3）＜3 f （ln 5），故选A. 通性通法 f （ x ）与e x 构造常见的形式 （1）对于f'（ x ）＋ nf （ x ）＞0，构造函数 h （ x ）＝e nxf （ x ）； （2）对于f'（ x ）－ nf （ x ）＞0，构造函数 h （ x ）＝ . 【跟踪训练】 函数 f （ x ）的导函数为f'（ x ），对任意 x ∈R，都有f'（ x ）＞ － f（ x ）成立，若 f （ln 2）＝ ，试求不等式 f （ x ）＞ 的解集. 解：由题意，对任意 x ∈R，都有f'（ x ）＞－ f （ x ）成立， 即f'（ x ）＋ f （ x ）＞0.令 g （ x ）＝e xf （ x ）， 则g'（ x ）＝f'（ x ）e x ＋ f （ x ）e x ＝e x [f'（ x ）＋ f （ x ）]＞0， 所以函数 g （ x ）在R上是增函数. 不等式 f （ x ）＞ 即e xf （ x ）＞1，即 g （ x ）＞1. 因为 f （ln 2）＝ ，所以 g （ln 2）＝eln 2 f （ln 2）＝2× ＝1. 故当 x ＞ln 2时， g （ x ）＞ g （ln 2）＝1， 所以不等式 g （ x ）＞1的解集为（ln 2，＋∞）. 题型三 利用 f （ ... ...
