(课件网) 培优课 两个经典不等式ex≥x＋1、 ln x≤x－1的证明及应用 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 题型一 经典不等式e x ≥ x ＋1 【例1】 证明不等式e x ≥ x ＋1. 证明：设 f （ x ）＝e x － x －1，则f'（ x ）＝e x －1，由f'（ x ）＝0，得 x ＝0， 所以当 x ＜0时，f'（ x ）＜0；当 x ＞0时，f'（ x ）＞0， 所以 f （ x ）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增， 所以 f （ x ）≥ f （0）＝0，即e x － x －1≥0， 所以e x ≥ x ＋1. 【母题探究】 证明不等式e x ≥e x （ x ∈R）. 证明：设 f （ x ）＝e x －e x ，则f'（ x ）＝e x －e，且f'（1）＝0， 当 x ＞1时，f'（ x ）＞0；当 x ＜1时，f'（ x ）＜0. ∴ f （ x ）在（－∞，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增， ∴ f （ x ）min＝ f （1）＝0，∴ f （ x ）≥0，即e x ≥e x . 通性通法 与e x 有关的常用不等式 （1）e－ x ≥1－ x （ x ∈R，当 x ＝0时，等号成立）； （2）e x ≥e x （ x ∈R，当 x ＝1时，等号成立）； （3）e x ≤ （ x ＜1，当 x ＝0时，等号成立）； （4） x e x ＝e x＋ln x ≥ x ＋ln x ＋1； （5） ＝e x－ln x ≥ x －ln x ＋1. 【跟踪训练】 设函数 f （ x ）＝1－e－ x ，求证：当 x ＞－1时， f （ x ）≥ . 证明：当 x ＞－1时，由e x ≥1＋ x ＞0（证明略），可得 ≤ .从而 1－e－ x ≥1－ ，即1－e－ x ≥ ，所以 f （ x ）≥ . 题型二 经典不等式ln x ≤ x －1 【例2】 证明不等式ln x ≤ x －1. 证明：由题意知 x ＞0，令 f （ x ）＝ x －1－ln x ，所以f'（ x ）＝1－ ＝ ，所以当f'（ x ）＞0时， x ＞1；当f'（ x ）＜0时，0＜ x ＜1， 故 f （ x ）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增， 所以 f （ x ）有最小值 f （1）＝0， 故有 f （ x ）＝ x －1－ln x ≥ f （1）＝0， 即ln x ≤ x －1成立. 【母题探究】 证明不等式ln（ x ＋1）≤ x . 证明：由题意知 x ＞－1，令 f （ x ）＝ln（ x ＋1）－ x ，所以f'（ x ）＝ －1＝ ， 所以当f'（ x ）＞0时，－1＜ x ＜0；当f'（ x ）＜0时， x ＞0， 故 f （ x ）在（－1，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减， 所以 f （ x ）有最大值 f （0）＝0， 故有 f （ x ）＝ln（ x ＋1）－ x ≤ f （0）＝0， 即ln（ x ＋1）≤ x 成立. 通性通法 与ln x 有关的常用不等式 （1） ≤ln x ≤ x －1（ x ＞0，当且仅当 x ＝1时，等号成立）； （2）ln x ≤ （ x ＞0，当且仅当 x ＝e时，等号成立）； （3）ln x ≤ （0＜ x ≤1，当且仅当 x ＝1时，等号成立）； （4）ln x ≥ （ x ≥1，当且仅当 x ＝1时，等号成立）； （5） x ＋ln x ＝ln（ x e x ）≤ x e x －1； （6） x ＋ n ln x ＝ln（ xn e x ）≤ xn e x －1. 【跟踪训练】 求证：对任意正整数 n ，不等式ln（1＋ n ）－ln n ＜ 都成立. 证明：因为当 x ＞－1时，ln（ x ＋1）＜ x （证明略），令 x ＝ （ n ≥1， n ∈N*），得ln（1＋ ）＜ ，即ln（1＋ n ）－ln n ＜ . 题型三 两个经典不等式的简单应用 【例3】 已知函数 f （ x ）＝ x2＋ x －ln x .证明：对任意的 x ＞0 f （ x ）＋e x ＞ x2＋ x ＋2. 证明：要证 f （ x ）＋e x ＞ x2＋ x ＋2， 即证e x －ln x －2＞0，由e x ＞ x ＋1， x ＞0（证明略）， ∴e x －ln x －2＞ x ＋1－ln x －2＝ x －ln x －1. 由ln x ≤ x －1， x ＞0（证明略），可得 x －ln x －1≥0， ∴e x －ln x －2＞0，即 f （ x ）＋e x ＞ x2＋ x ＋2成立. 通性通法 由e x ＞ x ＋1＞ x ＞ x －1＞ln x ， ... ...
