第23章 图形的相似 专题训练四 相似三角形的基本模型 (含答案)

专题训练四　相似三角形的基本模型 “A”字型相似 模型展示 　 　 若DE∥BC,则△ADE∽△ABC 若∠1=∠2,则△ADE∽△ABC 1.(2024河南中考)如图,在 ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点E为OC的中点,EF∥AB交BC于点F.若AB=4,则EF的长为 (　　) A. B.1 C. D.2 第1题图　　　第2题图 2.(2024滨州中考)如图,在△ABC中,点D、E分别在边AB、AC上.添加一个条件使△ADE∽△ACB,则这个条件可以是　　　　　　　　.(写出一种情况即可) 3.如图,已知△ADE∽△ABC,DE=3,BC=9. (1)求的值. (2)若AE=4,求AC的长. “X”字型相似 模型展示 　 　 若DE∥BC,则△ADE∽△ABC 若∠1=∠2,则△ADE∽△ABC 4.将一副三角板按如图所示的方式放置,则的值为　　　　. 5.如图,在△ABC中,AB=AC,BC恰好是∠ABD的平分线. (1)求证:△APC∽△DPB. (2)若AP=BP=1,AD=CP,求DP的长. “母子”型相似 模型展示 　 　 若AC⊥BC,CD⊥AB,则△ACD∽△ABC 若∠1=∠2,则△ACD∽△ABC 6.如图,点D是△ABC的边AB上一点,∠ABC=∠ACD. (1)求证:△ABC∽△ACD. (2)当AD=2,AB=3时,求AC的长. 7.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高. (1)求证:△ABD∽△CBA. (2)若AB=6,BC=10,求BD的长. “手拉手”型相似 模型展示 若∠1=∠2,∠B=∠D,则△ADE∽△ABC 8.如图,∠DAB=∠CAE,请你再添加一个条件,使得△ADE∽△ABC.则下列选项不成立的是 (　　) A.∠D=∠B B.∠E=∠C C. D. 9.如图,D为△ABC内的一点,E为△ABC外的一点,且∠ABC=∠DBE,∠BAD=∠BCE. (1)求证:△ABD∽△CBE. (2)若AB∶DB=5∶2,AC=6,直接写出线段DE的长度:　　　　. 一线三等角型相似 模型展示 若∠1=∠2=∠3,则△ABC∽△CDE 10.如图,在矩形ABCD中,E、F、G分别在AB、BC、CD上,DE⊥EF,EF⊥FG,BE=3,BF=2,FC=6,则DG的长是 (　　) A.4 B. C. D.5 11.如图,等边三角形ABC中,D为BC边上一点,E为AC边上一点,∠ADE=60°. (1)求证:△ABD∽△DCE. (2)若BD=4,CE=,求△ABC的边长. 【详解答案】 1.B　解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OC=AC,∵点E为OC的中点,∴CE=OC=AC,∵EF∥AB,∴△CEF∽△CAB,∴,即,∴EF=1.故选B. 2.∠ADE=∠C(答案不唯一) 解析:∵∠DAE=∠BAC,∴添加条件∠ADE=∠C,可以判定△ADE∽△ACB.(答案不唯一) 3.解:(1)∵△ADE∽△ABC, ∴. (2)∵,AE=4, ∴AC=3AE=12. 4.　解析:由题意得AB∥CD, ∴△ABO∽△CDO,∴, ∵△ABC是等腰直角三角形,设AB=a,则BC=a,∴CD=a, ∴. 5.解:(1)证明:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C,∵BC是∠ABD的平分线, ∴∠ABC=∠DBC,∴∠C=∠DBC, 又∵∠APC=∠DPB, ∴△APC∽△DPB. (2)设DP=x,∵AP=PB=1, ∴AD=AP+DP=1+x, 又∵AD=CP,∴CP=1+x, 由(1)得△APC∽△DPB, ∴AP∶DP=PC∶PB, 即1∶x=(x+1)∶1,∴x2+x=1, ∴x2+x-1=0, 解得x1=,x2=(不合题意,舍去).∴DP=. 6.解:(1)证明:∵∠ABC=∠ACD, ∠CAB=∠DAC, ∴△ABC∽△ACD. (2)∵△ABC∽△ACD,∴,即,∴AC=. 7.解:(1)证明:∵AD是斜边BC上的高,∴∠BDA=90°. ∵∠BAC=90°,∴∠BDA=∠BAC. 又∵∠B为公共角, ∴△ABD∽△CBA. (2)由(1)知△ABD∽△CBA, ∴,∴,∴BD=3.6. 8.D　解析:∵∠DAB=∠CAE, ∴∠DAB+∠BAE=∠CAE+∠BAE, ∴∠DAE=∠BAC,∴当添加条件∠D=∠B时,△ADE∽△ABC,故选项A不符合题意;当添加条件∠E=∠C时,△ADE∽△ABC,故选项B不符合题意;当添加条件时,△ADE∽△ABC,故选项C不符合题意;当添加条件时,△ADE和△ABC不一定相似,故选项D符合题意.故选D. 9.解:(1)证明:∵∠ABC=∠DBE, ∴∠ABD+∠DBC=∠CBE+∠DBC, ∴∠ABD=∠CBE, ∵∠BAD=∠BCE, ∴△ABD∽△CBE. (2)2.4 10.B　解析:∵EF⊥FG,∴∠EFB+∠GFC=90°,∵四边形ABCD为矩形,∴∠A=∠B=∠C=90°,AB=CD,∴∠GFC+∠FGC=90°, ∴∠EFB=∠FGC,∴△EFB∽△FGC, ∴,∵BE=3,BF=2,FC=6,∴,∴CG=4,同理可得△DAE∽△EBF,∴, ... ...