第23章　图形的相似 专题训练五 相似三角形的判定与性质（含答案）华东师大版九年级上册

专题训练五　相似三角形的判定与性质　　　 相似三角形判定定理的综合运用 1.如图,在平行四边形ABCD中,E是边AD的延长线上一点,连结BE交边CD于点F,交对角线AC于点G. (1)求证:△BGC∽△EGA. (2)若,求的值. 2.(2025上海浦东新区月考)如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,AF⊥CD,垂足为F. (1)求证:△ABE∽△ADF. (2)若EF∥BD,求证:AB=AD. 用相似三角形的性质证比例式 3.如图,在△ABC中,点D在边AB上,点E在线段CD上,且∠BAE=∠ACD=∠B. (1)求证:. (2)当E为CD的中点时,求证:. 用相似三角形的性质证等积式 4.如图所示,在平行四边形ABCD中,点E是边CD上一点,点F是边AD的中点,BE=DE+AB. (1)求证:EF⊥BF. (2)如果BE平分∠CBF,求证:DF·AD=CD·CE. 用相似三角形的性质求线段的长度 5.如图,在△ABC中,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上,DE∥AC,EF∥AB. (1)求证:△BDE∽△EFC. (2)若,且BC=20,求线段BE的长. 6.如图,在△ABC中,AB=2,将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN,且CN∥BM,线段MA的延长线与CN交于点P,AM=3,CN=. (1)求证:△ABM∽△CBN. (2)求AP的长. 用相似三角形的性质求面积 7.如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,且BD=AD,CE=AE. (1)求证:△ADE∽△ABC. (2)连结BE、CD交于点F,若S△DEF=2,求四边形DBCE的面积. 用相似三角形的性质解决实际生活问题 8.△ABC表示一块直角三角形空地,已知∠ACB=90°,边AC=4 m,BC=3 m.现在根据需要在空地内画出一个正方形区域建造水池,现有方案一、方案二分别如图1、图2所示,请你分别计算两种方案中水池的边长,并比较哪种方案的正方形水池的面积更大. 图1　图2 【详解答案】 1.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BC∥AD. ∴∠GAE=∠GCB,∠GEA=∠GBC. ∴△BGC∽△EGA. (2)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BC=AD. 设BC=AD=2x, ∵△BGC∽△EGA,∴. ∴AE=3x,∴DE=x. 同(1)可证△DEF∽△CBF, ∴. 2.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠ABE=∠ADF,∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴∠AEB=∠AFD=90°, ∴△ABE∽△ADF. (2)∵EF∥BD,∴,又∵BC=AD,DC=AB,∴, ∵△ABE∽△ADF,∴, ∴,∴AB2=AD2, ∴AB=AD. 3.证明:(1)∵∠ACD=∠BAE, ∠BAC=∠BAE+∠CAE, ∠AED=∠ACD+∠CAE, ∴∠AED=∠BAC,∵∠DAE=∠B, ∴△AED∽△BAC,∴. (2)∵∠ADE=∠CDA,∠DAE=∠ACD, ∴△DAE∽△DCA, ∴,∵DE=CE, ∴,∴, ∵∠DAC=∠BAC,∠ACD=∠B, ∴△ACD∽△ABC, ∴AC2=AD·AB,∴. 4.证明:如图,延长EF交BA的延长线于点M. (1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴CD∥AB,∴∠D=∠MAF, ∵点F是边AD的中点,∴AF=DF, 又∵∠MFA=∠EFD, ∴△MFA≌△EFD, ∴EF=MF,DE=AM,∵BE=DE+AB,∴BE=AM+AB=BM, ∴EF⊥BF. (2)∵BE平分∠CBF, ∴∠EBC=∠EBF, 由(1)得BM=BE,EF=MF, ∴∠MBF=∠EBF, ∴∠MBF=∠EBF=∠EBC, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠C=∠BAF,AD=BC,AB=CD, ∴△BCE∽△BAF,∴, ∵AF=DF,∴, ∴DF·AD=CD·CE. 5.解:(1)证明:在△ABC中,点D、E、F分别在AB、BC、AC边上,DE∥AC,EF∥AB, ∴∠B=∠CEF,∠BED=∠C, ∴△BDE∽△EFC. (2)若, 则,∵EF∥AB, ∴△EFC∽△BAC,∴, ∵BC=20,∴,∴EC=12, ∴BE=BC-EC=20-12=8. 6.解:(1)证明:∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN,∴AB=MB,BC=BN,∠ABC=∠MBN,∴,∴∠MBN+∠ABN=∠ABC+∠ABN,即∠ABM=∠CBN,∴△ABM∽△CBN. (2)由(1)知,△ABM∽△CBN, ∴∠BMA=∠BNC, ∵CN∥BM,∴∠BMA=∠APN, ∴∠APN=∠BNC,又∵BC=BN, ∴∠BNC=∠BCN, ∴∠APN=∠BCN,∴BC∥MP, ∴四边形BCPM为平行四边形, ∴BC=PM,∵△ABM∽△CBN, ∴,即, ∴CB=5,∴PM=5, ∴AP=PM-AM=5-3=2. 7.解:(1)证明:∵BD=AD,CE=AE, ∴AD=AB, AE=AC,∴. 又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ABC. (2)∵△ADE∽△ABC, ∴,∠ADE=∠ABC, ∴DE∥BC,∴△DEF∽△CBF, ∴, ∴BF=2EF,CF=2DF, .∵S△DEF=2 ... ...