专题强化练5　三角函数性质的综合应用

专题强化练5　三角函数性质的综合应用 1.函数f(x)=sin ωx(ω>0)在区间上是增函数,在区间上是减函数,则ω的值为(　　) A.　　B.　　C.2　　D.3 2.已知函数f(x)=2cos(3x+φ),则“φ=+2kπ,k∈Z”是“f(x)为奇函数”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.如果存在实数a,使得f(x+a)为奇函数, f(x-a)为偶函数,我们称函数f(x)为“Θ函数”.给出下列函数:①f(x)=sin x;②f(x)=cos x;③f(x)=sin 2,其中“Θ函数”的个数为(　　) A.0　　　　B.1　　 C.2　　　　D.3 4.(多选)已知直线x=是函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴,则(　　) A.f是偶函数 B.x=是f(x)图象的一条对称轴 C.f(x)在上单调递减 D.当x=时,函数f(x)取得最小值 5.若不等式sin2x-asin x+2≥0对任意x∈恒成立,则实数a的取值范围为　　　　. 6.写出一个同时具有下列三条性质,且定义域为实数集R的函数:f(x)=　　　　　　　　. ①最小正周期为2;②f(-x)=f(x);③无零点. 7.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ),其图象中相邻的两个对称中心的距离为.请从下列三个条件中选择一个作为已知条件并解决后面的问题. 条件①:函数f(x)的图象关于直线x=-对称;条件②:函数f(x)的图象关于点对称;条件③:对任意实数x, f(x)≤f恒成立. (1)直接写出f(x)的解析式; (2)将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,若在区间上存在x0满足g(x0)≤m,求实数m的取值范围. 答案与分层梯度式解析 1.A　由题意,知当x=时,函数f(x)取得最大值,所以=,即=,所以ω=. 2.A　当φ=+2kπ,k∈Z时, f(x)=2cos=-2sin 3x, 此时f(-x)=-f(x), 所以f(x)为奇函数. 当f(x)为奇函数时,φ=+kπ,k∈Z. 所以“φ=+2kπ,k∈Z”是“f(x)为奇函数”的充分不必要条件. 3.B　①若f(x)=sin x是“Θ函数”,则a=kπ且a=+mπ,k,m∈Z,易知不存在实数a满足条件,故f(x)=sin x不是“Θ函数”; ②若f(x)=cos x是“Θ函数”, 则a=+kπ且a=mπ,k,m∈Z,易知不存在实数a满足条件, 故f(x)=cos x不是“Θ函数”; ③若f(x)=sin 2是“Θ函数”,则2a+=kπ且-2a+=+mπ,k,m∈Z, ∴a可取, 即存在实数a满足条件, ∴f(x)=sin 2是“Θ函数”.因此“Θ函数”的个数为1.故选B. 4.AC　因为直线x=是函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴, 所以2×+φ=kπ+,k∈Z,又0<φ<π, 所以φ=,所以f(x)=sin. f=sin=cos 2x,是偶函数,故A正确; 令2x+=kπ+(k∈Z),解得x=+(k∈Z), 所以f(x)图象的对称轴方程为x=+(k∈Z), 而x=不能满足上式,故B错误; 当x∈时,2x+∈,此时函数f(x)单调递减,故C正确; 显然函数f(x)的最小值为-1,当x=时, f=sin=-,故D错误. 故选AC. 5.答案　a≤3 解析　设t=sin x,∵x∈,∴t∈(0,1], 则不等式化为t2-at+2≥0,它在t∈(0,1]上恒成立, 即a≤=t+在t∈(0,1]上恒成立. ∵函数y=t+在(0,1]上单调递减, ∴ymin=3,∴a≤3. 6.答案　cos πx+2(答案不唯一) 解析　f(x)=cos πx+2的定义域为R, 最小正周期T==2, f(-x)=cos(-πx)+2=cos πx+2=f(x), 因为-1≤cos πx≤1,所以1≤f(x)≤3,所以f(x)无零点, 所以f(x)=cos πx+2为符合题意的一个函数. 7.解析　(1)因为函数f(x)=2sin(ωx+φ)的图象中相邻的两个对称中心的距离为, 所以=,即周期T=π, 所以ω==2,所以f(x)=2sin(2x+φ). 选择条件①: 因为函数f(x)的图象关于直线x=-对称, 所以2×+φ=kπ+,k∈Z, 解得φ=kπ+,k∈Z. 因为|φ|<,所以φ=-. 所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin. 选择条件②: 因为函数f(x)的图象关于点对称, 所以2×+φ=kπ,k∈Z,解得φ=kπ-,k∈Z. 因为|φ|<,所以φ=-. 所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin. 选择条件③: 因为对任意实数x, f(x)≤f恒成立, 所以当x=时, f(x)取得最大值, 所以2×+φ=2kπ+,k∈Z, 解得φ=2kπ-,k∈Z, 因为| ... ...