第2课时 奇偶性的应用 题型一 利用函数的奇偶性求解析式 角度1 定义法求函数解析式 【例1】 （链接教科书第127页习题7题）函数f（x）是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f（x）＝－x＋1，求f（x）的解析式. 通性通法 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为： （1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设； （2）利用已知区间上的解析式进行代入； （3）利用f（x）的奇偶性写出－f（x）或f（－x），从而解出f（x）. 提醒 若函数f（x）的定义域内含0且为奇函数，则必有f（0）＝0，但若为偶函数，未必有f（0）＝0. 角度2 方程组法求函数解析式 【例2】 设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝，求函数f（x），g（x）的解析式. 通性通法 已知函数f（x），g（x）的组合运算与奇偶性，把x换为－x，构造方程组求解. 【跟踪训练】 1.已知函数f（x）＝为奇函数，则g（x）＝ . 2.（2024·南通中学期中）已知函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2－x＋1，则g（3）＝ . 题型二 利用函数的奇偶性与单调性比较大小 【例3】 设函数f（x）的定义域为R，对于任意实数x总有f（－x）＝f（x），当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递增，则f（－2），f（π），f（－3）的大小关系是（ ） A.f（π）＞f（－3）＞f（－2） B.f（π）＞f（－2）＞f（－3） C.f（π）＜f（－3）＜f（－2） D.f（π）＜f（－2）＜f（－3） 通性通法 利用函数的奇偶性与单调性比较大小的解题策略 （1）自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； （2）自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小. 【跟踪训练】 1.已知f（x）是奇函数，且在区间[0，＋∞）上单调递增，则f（－0.5），f（－1），f（0）的大小关系是（ ） A.f（－0.5）＜f（0）＜f（－1） B.f（－1）＜f（－0.5）＜f（0） C.f（0）＜f（－0.5）＜f（－1） D.f（－1）＜f（0）＜f（－0.5） 2.已知函数f（x）在[－5，5]上是偶函数，在[0，5]上是单调函数，且f（－4）＜f（－2），则下列不等式一定成立的是（ ） A.f（－1）＜f（3） B.f（2）＜f（3） C.f（－3）＜f（5） D.f（0）＞f（1） 题型三 利用函数的奇偶性与单调性解不等式 【例4】 设定义在[－2，2]上的奇函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，若f（1－m）＜f（m），求实数m的取值范围. 【母题探究】 （变条件）若将本例中的“奇函数”改为“偶函数”，把区间“[0，2]”改为“[－2，0]”，其他条件不变，求实数m的取值范围. 通性通法 利用函数奇偶性与单调性解不等式的方法 （1）利用图象解不等式； （2）转化为简单不等式求解：①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f（x1）＜f（x2）或f（x1）＞f（x2）的形式；②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上的单调性相反，去掉不等式中的“f”转化为简单不等式（组）求解. 提醒 列不等式（组）时不要忘掉函数定义域. 【跟踪训练】 1.已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则满足f（2x－1）＜f（1）的x的取值范围是（ ） A.（－1，0） B.（0，1） C.（1，2） D.（－1，1） 2.（2024·苏州中学期中）若函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）在（－∞，0）上单调递减，f（3）＝0，则满足不等式xf（x）＜0的x的取值范围是（ ） A.（－3，0）∪（3，＋∞） B.（－3，0）∪（0，3） C.（－∞，－3）∪（3，＋∞） D.（－∞，－3）∪（0，3） 1.已知奇函数f（x）在（－∞，0）上单调递增，则（ ... ...
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