7.4 培优课　　二项式定理的综合应用（课件 学案 练习）高中数学苏教版（2019）选择性必修 第二册

(课件网) 培优课　　 二项式定理的综合应用 目录 典型例题·精研析 01 知能演练·扣课标 02 典型例题·精研析 01 课堂互动 关键能力提升 题型一 求两个二项式乘积的特定项问题 【例1】　（1）（x2＋1）（2x－ ）6的展开式中常数项为（　A　） A. －100 B. 100 C. －50 D. 50 解析： （2x－ ）6展开式的通项为Tk＋1＝ ·（2x）6－k （－x－1）k＝（－1）k·26－k x6－2k，令6－2k＝0，则k＝3， 令6－2k＝－2，则k＝4，所以常数项为－23 ＋22 ＝－160 ＋60＝－100. A （2）（2022·新高考Ⅰ卷13题） （x＋y）8的展开式中x2y6的系 数为 （用数字作答）. 解析： （x＋y）8展开式的通项Tr＋1＝ x8－ryr，r＝0， 1，…，7，8.令r＝6，得T6＋1＝ x2y6，令r＝5，得T5＋1＝ x3y5，所以 （x＋y）8的展开式中x2y6的系数为 － ＝－28. －28　 通性通法 两个二项式乘积的展开式中特定项问题 （1）分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点； （2）找到构成展开式中特定项的组成部分； （3）分别求解再相乘，求和即得. 【跟踪训练】 　已知（2x－a）（x＋ ）6的展开式中x2的系数为－240，则该二项 展开式中的常数项为 . －640　 解析：（x＋ ）6的展开式的通项公式为Tk＋1＝ x6－k（ ）k＝ 2kx6－2k（k＝0，1，2，3，4，5，6），令6－2k＝1，得k＝ （舍 去）；令6－2k＝2，得k＝2.故（2x－a）（x＋ ）6的展开式中x2 的系数为－a 22＝－240，解得a＝4.令6－2k＝－1，得k＝ （舍 去）；令6－2k＝0，得k＝3.故（2x－4）（x＋ ）6的展开式中的 常数项为－4 ·23＝－640. 题型二 求三项展开式中的特定项问题 【例2】　（1）（2024·常州月考）（ ＋ ＋ ）5（x＞0）的展开 式中的常数项为 ； 解析： （ ＋ ＋ ）5（x＞0）可化为（ ＋ ）10， 因而Tr＋1＝ ·（ ）10－r·（ ）10－2r，令10－2r＝0，得r＝ 5，故展开式中的常数项为 ·（ ）5＝ . 　 （2）（2024·南京月考）（x2－ ＋y）6的展开式中，x3y3的系数 是 .（用数字作答） 解析： （x2－ ＋y）6表示6个因式x2－ ＋y的乘积，在 这6个因式中，有3个因式选y，其余的3个因式中有2个选x2，剩 下一个选－ ，即可得到x3y3的系数，即x3y3的系数是 × （－2）＝20×3×（－2）＝－120. －120　 通性通法 求三项展开式中特定项（系数）的方法 【跟踪训练】 1. （2x2－x－1）5的展开式中x2的系数为（　　） A. 400 B. 120 C. 80 D. 0 解析： 　（2x2－x－1）5＝（x－1）5（2x＋1）5，（x－1）5的 展开式的通项为 x5－r（－1）r，r＝0，1，…，5，（2x＋1）5 的展开式的通项为 （2x）5－k，k＝0，1，…，5，故原式的通 项为（－1）r25－k x10－（k＋r），当10－（k＋r）＝2时，k＋r ＝8，此时k与r的取值有3种情况，分别为k＝3，r＝5；k＝4，r ＝4；k＝5，r＝3.故展开式中x2的系数为（－1）522 ＋（－ 1）42 ＋（－1）3 ＝0. 2. 求（x－2y＋1）5的展开式中含x2y项的系数. 解：（x－2y＋1）5＝[1＋（x－2y）]5， 设该二项式的通项公式为Tr＋1＝ ·15－r·（x－2y）r＝ ·（x－ 2y）r， 因为x2y的次数为3， 所以令r＝3，二项式（x－2y）3的通项公式为T'r'＋1＝ ·x3－ r'·（－2y）r'， 令r'＝1，所以x2y项的系数为 · ·（－2）＝－60. 题型三 有关整除或求余数问题 【例3】　（1）（2024·无锡月考）已知3×1010＋a（0≤a＜11）能 被11整除，则实数a的值为 ； 解析：3×1010＋a＝3×（11－1）10＋a＝3×[1110＋ 119×（－1）＋…＋ （－1）10]＋a＝3（1110－ 119 ＋…－ ×11）＋3×1＋a.因为3×1010＋a能被11整除，所以 3＋a能被11整除.又因为0≤a＜11，所以a＝8. 8　 （2）（链接教科书第87页例5）用二项式定理证明1110－1能被 10 ... ...