16.3.1 平方差公式 教案 2025-2026学年数学人教版八年级上册

16.3.1 平方差公式 【素养目标】 1．探究并理解平方差公式； 2．掌握平方差公式的结构和运用条件，熟练地用文字描述公式，运用平方差公式简化相应的乘法运算； 3．理解平方差公式的几何意义，感受数形结合思想. 【教学重点】 平方差公式、运用平方差公式简化运算． 【教学难点】 准确发现符合公式条件的两个数． 【教学过程】 任务一：创设情境，导入新课． 乘法的运算律！还有一个“法宝”———乘法公式！ 某些特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式，当遇到相同形式的多项式相乘时，就可以直接运用公式写出结果． 任务二：探究(乘法的)平方差公式． 探究：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ ①(x＋1)(x－1)＝_____； ②(m＋2)(m－2)＝_____； ③(2x＋1)(2x－1)＝_____． 提示：右边合并后都是两个数的平方差，左边与这两个数有什么关系呢？ 发现：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 证明：(a＋b)(a－b)＝a2－ab＋ab－b2＝a2－b2. 归纳： (1)乘法的平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．“平方差”，先平方，再求差． (2)平方差公式用式子表示：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.平方差公式是(a＋b)(p＋q)中，p＝a，q＝－b的特殊情形． 任务三：运用平方差公式简化乘法运算． 1．运用平方差公式计算： 提示：运用平方差公式，关键是确定两个数；两个数的和、这两个数的差． 动画展示： 归纳： (1)运用平方差公式，关键是确定两个数． 为方便确定两个数，可以调整括号中数的顺序：把符号相同的项移到括号内的第一项，把符号不同的项移到括号内的第二项． (2)公式中的两个数，既可以是具体的数或字母，也可以是单项式、多项式； (3)当两个数是分数、负数、单项式或多项式时要加括号． 2．计算： (1)(x－1)(x＋1)(x2＋1)； (2)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)； (3)102×98. 提示： (1)符合平方差公式条件的直接用公式；不符合的，按乘法法则进行运算； (2)有些乘法可以化成符合平方差公式的形式． 解：(1)原式＝(x2－1)(x2＋1)＝(x2)2－12＝x4－1； (2)原式＝y2－22－(y2＋5y－y－5)＝y2－4－y2－4y＋5＝－4y＋1； (3)原式＝(100＋2)(100－2)＝1002－22＝9996. 归纳： (1)只有符合(或能化成)平方差公式条件的乘法，才能运用公式简化运算； (2)不符合平方差公式条件的乘法，按乘法法则进行运算． 任务四：理解平方差公式的几何意义． 思考：你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？ 动画展示： 归纳： 用图形的面积解释乘法的平方差公式，让平方差公式有了几何意义．这是“数”与“形”的完美结合，它体现了代数与几何之间的内在联系．“数形结合”是研究数学的重要思想． 任务五：尝试练习，巩固内化． 解答教材P113－P114练习1、2、3. 任务六：课堂小结，形成体系． 1．反思与交流： 完成今天的学习后，你学到了什么呢？你能解决什么样的问题呢？你还有疑问吗？ 2．知识结构： 【布置作业】 (1)教材P117—P118习题16.3，第1、8题． (2)教材P119“活动2”和为定值的两数积的规律． 【教学反思】 从多项式乘法到乘法公式是从一般到特殊的认识过程，乘法公式的应用十分广泛，是本章的重点内容之一．教学时，要强调学生会用语言表述公式，不要只记(a＋b)(a－b)＝a2－b2，语言表述就是对公式结构特征的说明．在运用公式时，不要生搬硬套地说谁是a、谁是b，而是确定“两个数”． 本课时在探究出公式后，没有用图形的面积去验证公式，而是直接运用公式计算，后面设置了活动“了解平方差公式的几何意义”，这样设计可能更符合学生的认知顺序，也升华了对平方差公式的理解． ... ...