综合与实践 最短路径问题 暑期预习讲义 思维导图 学习目标 理解**“两点之间，线段最短”**的基本原理。 掌握轴对称变换在解决最短路径问题中的应用。 能够运用对称转化法解决实际问题，如“将军饮马”问题。 培养几何直观能力，提升逻辑推理和问题解决能力。 知识点梳理 一、基本概念 最短路径原理： 两点之间，线段最短（直线距离最短）。 若路径中存在障碍（如河流、墙壁等），需通过对称变换将折线路径转化为直线求解。 轴对称变换的作用： 通过对称，将折线路径（如“先到河边再到某点”）转化为直线距离，从而找到最短路径。 二、典型问题模型 “将军饮马”问题（一点到直线再到另一点的最短路径）： 步骤： ① 作其中一个点关于直线的对称点； ② 连接对称点与另一个点，交直线于某点； ③ 该交点即为路径的最优转折点。 “造桥选址”问题（两点间经过平行线的最短路径）： 通过平移使路径转化为直线，再求最短距离。 三、解题方法总结 找对称点：将折线路径中的一个端点关于障碍线（如河岸）对称。 连直线：连接对称点与另一个端点，与障碍线的交点即为最优路径点。 验证合理性：确保路径符合实际约束条件（如必须在某侧行走）。 易错点提醒 对称点找错： 必须严格按轴对称作图，确保对称点位置正确。 错误示例：对称点未垂直对称轴或距离不相等。 忽略实际约束： 实际问题中，路径可能有限制（如必须在河岸某侧行走），需检验解的可行性。 混淆问题类型： “将军饮马”与“造桥选址”问题解法不同，需分清是否需要平移或对称。 计算错误： 用勾股定理求距离时，注意坐标或长度的准确计算。 知识点小结 最短路径问题的核心是**“化折为直”**，通过对称或平移将复杂路径转化为直线。 轴对称是解决“一点到直线再到另一点”问题的关键工具。 实际问题中需注意路径的合理性，避免忽略约束条件。 掌握典型模型（如将军饮马）的固定解法，能推广到类似问题中。 学习建议 多画图分析，培养几何直观能力。 从简单例题入手，逐步理解对称转化的思想。 结合生活实例（如快递员送货路线）加深理解。 巩固练习 一、选择题 1．如图，在中，是上一点，且，直线分别是线段，射线上的一个动点．当的值最小时，的长度为（ ） A．8 B．8.5 C．9 D．9.5 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，面积是30，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E、F点．若点D为BC边的中点，点M为直线EF上一动点，则CM+DM的最小值为（ ） A．7 B．7.5 C．8 D．8.57 3．如图，是等边三角形，是边上的高，是的中点，是上的一个动点，当与的和最小时，等于（ ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形刚好是中点，P、Q分别是线段上的动点，则的最小值为（ ） A．12 B．15 C．16 D．18 5．如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段AB（点B在点A上面）在y轴上移动，C（1，0），D（4，0），连接AC，BD，则AC+BD的最小值为（ ） A．5 B． C．2 D． 二、填空题 6．如图，在四边形中，，，，点M，N分别在，上，当的周长最小时，的度数为 度． 7．如图， 等边△ABC的周长为 12cm， BD为AC边上的中线，动点P， Q分别在线段BC， BD上运动， 连接 CQ， PQ， 当BP的长为 cm时， 线段CQ+PQ的和最小. 8．如图，在四边形中，，，M，N分别是边，上的动点，当的周长最小时， °． 9．如图，在等腰中，点是底边BC边的中点，M，N分别是AD和AB上的动点.若，则的最小值= . 10．如图，在锐角三角形ABC中，°，的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，当取得最小值时， ． 三、解答题 11．如图，要在街道l上修建一个牛奶售卖点D．（街道用直线l表示） （1）如图①，若牛奶售卖点D向小区A，B提供牛奶，则牛奶售卖点D应建在什么地方，才能使它到小区A ... ...
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