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课件网) 导数是从实际生活和科学领域中抽象出来的数学概念,由于导数的本质是瞬时变化率, 所以实际生活中的瞬时变化率问题都可以用导数来解决. (1)功与功率:在物理学中,通常称力在单位时间内做的功为功率,它是功W关于时间t的导数. (2)瞬时速度:在物理学中,物体在某一时刻的速度称为瞬时速度,它是位移s关于时间t的导数; 速度关于时间的导数是加速度. (3)降雨强度:在气象学中,通常把在单位时间内的降雨量称作降雨强度,它是降雨量关于时间 的导数. §7 导数的应用 知识点 1 实际问题中导数的意义 知识 清单破 (4)边际成本:在经济学中,通常把生产成本y关于产量x的函数y=f(x)的导函数称为边际成本.边 际成本f'(x0)指的是当产量为x0时,生产成本的增加速度,也就是当产量为x0时,每增加一个单位 的产量,需要增加f'(x0)个单位的成本. (5)线密度:单位长度的物质质量称为线密度,它是质量关于长度的导数. 1.最优化问题 在实际问题中,经常会遇到解决一些如面积最小、体积最大、成本最低、时间最少等问题, 这些问题通称为最优化问题.导数是解决最优化问题的一个重要工具. 2.利用导数解决生活中的最优化问题的步骤 (1)分析实际问题中各个变量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中各个量 之间的函数关系y=f(x); (2)求函数y=f(x)的导数f'(x),解方程f'(x)=0; (3)比较函数在区间端点处的函数值和使f'(x)=0的点处的函数值的大小,最大(小)者为最大 (小)值. 知识点 2 利用导数解决生活中的最优化问题 判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”. 1.物体的加速度都是正值. ( ) 2.一物体的位移s(米)与时间t(秒)的关系为s=-t2,则该物体在1秒末的瞬时速度为-2米/秒. ( ) 3.从上午6时到9时,车辆通过某市某一路段的用时y(单位:分钟)与车辆进入该路段的时刻t之 间的关系可近似地用函数y=- t3- t2+36t- 表示,则在这段时间内,通过该路段用时最多的 时刻是7时. ( ) 知识辨析 √ 提示 提示 汽车在刹车时,速度会越来越慢,其加速度为负值. 由y=- t3- t2+36t- 得y'=- t2- t+36,令y'=0,解得t=8或t=-12(舍去).当0
0; 当t>8时,y'<0,所以t=8为函数的极大值点,也是最大值点.故通过该路段用时最多的时刻是8时. 4.球的半径从1增加到2时,球的体积的平均膨胀率为9π. ( ) 5.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使水桶的体积是27π,且用料最省,则水桶的底面半径为2. ( ) 提示 提示 球的体积的平均膨胀率为 = . 设该圆柱形水桶的表面积为S,底面半径为r(r>0),则水桶的高为 ,所以S=πr2+2πr× =πr2+ (r>0),则S'=2πr- ,令S'=0,解得r=3.当03时,S'>0,所以r=3为函数的 极小值点,也是最小值点,故要使水桶的体积是27π,且用料最省,则水桶的底面半径为3. 解决生活中的最优化问题的注意事项 (1)当问题涉及多个变量时,应根据题意分析它们之间的关系,列出变量之间的关系式; (2)在建立函数模型的同时,应根据实际问题确定函数的定义域; (3)在实际问题中,由导数值为0得到定义域内的根通常只有一个,如果函数在该点处取得极大 值(极小值),那么不与端点处的函数值进行比较也可以判定该极大值(极小值)就是函数的最 大值(最小值); (4)求实际问题的最大(小)值时,一定要从问题的实际意义出发,不符合实际意义的应舍去,例 如长度、宽度应大于0,销售价格一般要高于进价等. 疑难 利用导数解决生活中的最优化问题 讲解分析 疑难 情境破 已知某公司生产某种型号医疗器械的月固定成本为20万元,每生产1千件需另投入5.4 万元,设该公司一个月内生产该型号医疗器械x千件且能全部销售完,每千件的销售收入为 g(x)万元,且g(x)= (1)请写出月利润y(万元)关于月产量x(千件)的函数解析式; (2)月产量为多少千件时,该 ... ... 