(
课件网) 知识点 1 点到直线的距离 6.3.4 空间距离的计算 必备知识 清单破 1.如图所示,P是直线l外一点,PO⊥l,O为垂足,A是l上任意一点,设e是直线l的方向向量,记φ=< ,e>,则cos φ= ,故点P到直线l的距离d=| |sin φ= . 2.如图所示,P为直线l外一点,A是l上任意一点,在点P和直线l所确定的平面内,取一个与直线l 垂直的向量n,则点P到直线l的距离d= . 如图所示,P是平面α外一点,PO⊥α,垂足为O,A为平面α内任意一点,设n为平面α的法向 量,则点P到平面α的距离d= . 注:平行的线面、面面间的距离都可转化为平面外一点到平面的距离. 知识点 2 点到平面的距离 如图,设A,P分别为异面直线a,b上的点,向量n与直线a,b都垂直,则异面直线a,b间的距离d = ,即为向量 在平面α的法向量n上的投影向量的模. 知识点 3 异面直线间的距离 知识辨析 1.点P为平面α外一点,A∈α,如何求PA的最小值 2.如何求两条平行线间的距离 3.若直线与平面平行,如何求直线与平面间的距离 4.如何求两平行平面间的距离 5.已知平面α的一个法向量为n=(-2,2,1),A∈α,A(x,1,0),若点P(-2,1,3)到平面α的距离d=1,则x的 值为多少 一语破的 1.过点P作PO⊥α,垂足为O,则点P到平面α的距离d为线段PO的长度,且PA≥d,所以PA的最小 值为d. 2.将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离. 3.在直线上任找一点,求该点到平面的距离. 4.在一个平面内任找一点,求该点到另一个平面的距离. 5.由题知, =(-2-x,0,3),由n=(-2,2,1),d= =1,得 =1,解得x=-2或x=-5. 1.用向量法求点到直线的距离的两种思路 (1)将求点到直线的距离问题转化为求向量模的问题,即利用待定系数法求出垂足的坐标,然 后求出向量的模,这是求各种距离的通法. (2)直接套用点到直线的距离公式求解. 2.利用点到直线的距离公式时的注意点 (1)不必找直线外的点在该直线上的射影以及垂线段; (2)在直线上可以任意选点,但一般选较易求得坐标的特殊点; (3)直线的方向向量可以任取,但必须保证计算的准确性. 关键能力 定点破 定点 1 用向量法求点到直线的距离 典例1 已知正方体ABCD-EFGH的棱长为1,点P在正方体的内部,且 = + + ,则 点P到直线AB的距离为 . 解析 如图,建立空间直角坐标系A-xyz, 则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0,1),所以 =(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1), 所以 = + + = , 因为 在 上的投影向量的长度为 = ,所以点P到直线AB的距离为 = . 典例2 已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求点B到直线A1C1的距 离. 解析 以B为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系, 则B(0,0,0),A1(4,0,1),C1(0,3,1), 所以 =(-4,3,0), =(0,3,1). 因为cos< , >= = = , 所以sin< , >= , 所以点B到直线A1C1的距离d=| |·sin< , >= × = . 用向量求点到平面的距离的方法与步骤 利用向量法求点到平面的距离时,不必作出该点到平面的垂线段,而是将其转化为求已知点 与平面内一点的连线对应的向量在平面法向量上的投影的长度,具体求解过程如下: (1)建立空间直角坐标系; (2)求出已知点P与平面α内任一点A所连直线的方向向量 ; (3)求出平面α的法向量n; (4)利用公式d= 求解. 定点 2 用向量法求点到平面的距离 典例 已知F,E分别是正方形ABCD的边AD,AB的中点,EF交AC于点P,GC⊥平面ABCD. (1)求证:EF⊥平面GPC; (2)若AB=4,GC=2,求点B到平面EFG的距离. 解析 (1)证明:连接BD交AC于点O, ∵F,E分别是正方形ABCD的边AD,AB的中点, ∴EF∥BD, 又AC⊥BD,∴EF⊥AC. ∵GC⊥平面ABCD,EF 平面ABCD, ∴EF⊥GC. 又AC∩GC=C,AC,GC 平面GPC, ∴EF⊥平面GPC. (2)解法一(向量法):以C为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz, 则G(0,0,2),E(4,2,0),F(2,4,0 ... ...
