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课件网) 1.3.2 函数的极值与导数 1 | 函数极值的定义 1.极大值与极大值点 设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义,x0是区间(a,b)内的一个点,若点x0附近的函数值 都小于或等于f(x0)(即f(x)≤f(x0)),就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极大值,此时x0称为 f(x)的一个极大值点. 2.极小值与极小值点 设函数y=f(x)在区间(a,b)内有定义,x0是区间(a,b)内的一个点,若点x0附近的函数值 都大于或等于f(x0)(即f(x)≥f(x0)),就说f(x0)是函数y=f(x)的一个极小值,此时x0称为 f(x)的一个极小值点. 3.极大值和极小值统称为极值,极大值点和极小值点统称为极值点. 如果函数y=f(x)在某个区间内有导数,就可按下列步骤求它的极值: (1)求导数f'(x). (2)求f(x)的驻点,即求方程f'(x)=0的解. (3)对于方程f'(x)=0的每一个解x0,分析f'(x)在x0左右两侧的符号(即讨论f(x)的单调 性),确定极值点: ①若f'(x)在x0两侧的符号为“左正右负”,则x0为极大值点; ②若f'(x)在x0两侧的符号为“左负右正”,则x0为极小值点. (4)求出各极值点的函数值,就得到函数y=f(x)的全部极值. 2 | 函数极值的求法 1.导数为0的点一定是函数的极值点吗 不一定.如函数f(x)=x3,其导数为f'(x)=3x2.当x=0时,有f'(0)=0,但x=0不是f(x)的极值点. 2.函数的极大值一定会大于函数的极小值吗 不一定.如图所示,x1是极大值点,x4是极小值点,但f(x1)
,则-2mm-2. 当x变化时,f '(x), f(x)的变化情况如表所示. ∴函数f(x)在x=m-2处取得极大值,且极大值为f(m-2)=(4-3m)em-2;函数f(x)在x=-2m处 取得极小值,且极小值为f(-2m)=3me-2m. x (-∞,m-2) m-2 (m-2,-2m) -2m (-2m,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴函数f(x)在x=-2m处取得极大值,且极大值为f(-2m)=3me-2m;函数f(x)在x=m-2处取 由函数的极值求参数的值或范围,解题的切入点是明确极值存在的条件:极 值点处的导数值为0,极值点两侧的导数值异号.解题步骤如下: ①求函数的导函数f'(x); ②由极值点处的导数值为0,列出方程(组),求解参数的值或范围. 注意:求出参数的值后,一定要验证其是否满足题目的条件. 2 利用函数的极值求参数的值或范围 典例 (1)若函数f( ... ... 