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课件网) 北师大版 数学 选择性必修第一册 课标定位 素养阐释 1.掌握直线与圆锥曲线相交弦的长及中点弦问题的解法. 2.掌握圆锥曲线中定点与定值问题的解法. 3.理解和掌握转化与化归思想及数形结合思想在解析几何中的应用. 自主预习 新知导学 一、直线与圆锥曲线的相交弦长 【问题思考】 1.(1)一元二次方程根与系数的关系有哪些 (2)两点间的距离公式是怎样的 答案:B 二、中点弦 【问题思考】 1.(1)中点坐标公式是什么 (2)经过两点的直线的斜率公式是什么 答案:x+2y-4=0 【思考辨析】 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”. (1)过抛物线y2=2px(p>0)焦点的弦中最短弦的长是2p.( ) (3)与双曲线只有一个交点的直线为其切线.( ) (4)过点(0,1)作直线,使它与曲线y2=4x仅有一个公共点的直线只有2条. ( ) √ √ × × 合作探究 释疑解惑 探究一 弦长问题 【例1】 已知双曲线x2- =1,过点P(2,1)作一直线交双曲线于A,B两点.若P为AB的中点,求: (1)求直线AB的方程; (2)求弦AB的长. 例题条件不变,试判断A,B两点在双曲线的左支上还是在右支上. 有关圆锥曲线弦长问题的求解方法 (1)涉及弦长的问题,应熟练利用根与系数的关系,运用设而不求法计算 (2)涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系,运用设而不求法简化运算; (3)涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解. 【变式训练1】已知直线y=2x-2交抛物线y2=8x于A,B两点,求线段AB的中点M的坐标及弦AB的长. 探究二 中点弦问题 解决中点弦问题主要有如下两种方法 (1)根与系数的关系法:将直线方程代入圆锥曲线的方程,消元后得到一个一元二次方程,利用根与系数的关系和中点坐标公式建立等式求解. (2)点差法:若直线l与圆锥曲线C有两个交点A和B,一般先设出交点坐标A(x1,y1),B(x2,y2),将两个坐标分别代入曲线方程,通过作差,构造出x1+x2,y1+y2,x1-x2,y1-y2,从而建立中点坐标和斜率的关系式. 【变式训练2】 过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,若弦AB恰被点Q平分,求弦AB所在直线的方程. 经验证,此时直线与抛物线相交. 故弦AB所在直线的方程为y-1=4(x-4),即4x-y-15=0. 探究三 定点与定值问题 图2-4-2 (1)求椭圆C的标准方程. (2)设直线x=my+1与椭圆C交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为A'(A'与B不重合),则直线A'B与x轴是否交于一个定点 若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由. 1.求定值问题常见的方法有两种 (1)从特殊值入手,求出表达式,再证明这个值与变量无关. (2)直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. 2.定点的探索与证明问题 (1)探索直线过定点时,可设出直线方程为y=kx+b,然后利用条件建立b,k等量关系进行消元,借助于直线系方程找出定点. (2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明一般情况. 【变式训练3】 已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,并满足OA⊥OB(O为坐标原点),求证: (1)A,B两点的横坐标之积、纵坐标之积均是一个定值; (2)直线AB经过一个定点. 规范解答 与圆锥曲线有关的综合问题 图2-4-3 (2)不存在符合题设条件的直线l.证明如下: ①若直线l垂直于x轴, 因为直线l与椭圆C2只有一个公共点, 1.本例(1)是利用待定系数法求方程. 2.本例(2)中情况①不能忽略. 3.本例(2)中利用Δ=0找到参数m与k之间的关系. 随堂练习 答案:A 2.已知直线l与抛物线C:y2=2x交于A,B两点,O为坐标原点,若直线OA,OB的斜率分别为k1,k2,且满足k1k2= ,则直线l过定点( ). A.(-3,0) B.(0,-3) C.(3,0) D.(0,3) 答案:A 3.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线与该抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则 的最小值是( ). A.4 B.8 C.12 D.16 答案:B 答案:ABD 答案:3x+4y-7=0 6.已知直线y=kx-1与双曲线x2-y2=1 ... ...
