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课件网) 3.1.2 空间两点间的距离公式 新授课 1.了解推导空间两点间的距离公式的过程. 2.会用空间两点间的距离公式求空间中两点间的距离. 距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离.两点间的距离也就是以这两点为端点的线段的长度. 思考：在空间直角坐标系中，两点间的距离与两点的坐标有何关系 知识点：空间两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，给定P(x1,y1,z1)，Q(x2,y2,z2)两点. 特殊情况：若其中一点为原点，不妨设点Q为原点O，过点P分别作与三条坐标轴垂直的平面，则被各坐标平面所截可得长方体A1P1C1O-APCB(如图1)，且长方体的棱长满足|OA1|=|x1|，|OC1|=|y1|，|OB|=|z1|. 图1 由图1可知，P，O两点间的距离就是长方体A1P1C1O-APCB的对角线PO的长度. 根据长方体对角线的长与各棱长的关系，得|PO|2=|OA1|2+|OC1|2+|OB|2, 即 由上述方法得到启发：空间中两点间的距离可以转化为长方体对角线的长度. 图1 一般情况：对于空间任意P,Q两点，过点P分别作与三条坐标轴垂直的平面，过点Q也分别作与三条坐标轴垂直的平面(如图2)， 当这六个平面均不重合时，它们围成一个长方体PCBA-EFQD，且长方体的各棱所在的直线均与某条坐标轴平行或重合. 由图易知，C，B两点的坐标分别为(x1,y2,z1)，(x2,y2,z1)， ∵CB平行于x轴，∴|CB|=|x2-x1|. 同理有|PC|=|y2-y1|，|BQ|=|z2-z1|. 图2 图2 ∴|PQ|2=|CB|2+|PC|2+|BQ|2， 即 当这六个平面中至少有两个平面重合时，不妨设垂直于轴的两个平面重合(z1=z2)，作出其余四个平面与xOy平面的交线(如图3). 易证明：四边形PQQ1P1为矩形或线段PQ与P1Q1重合，∴|PQ|=|P1Q1|. 图3 图3 由图3易知，P1，Q1两点的坐标分别为(x1,y1,0)，(x2,y2,0)， 再根据平面上两点间的距离公式，有 于是仍有 概念讲解 已知空间中P(x1,y1,z1)，Q(x2,y2,z2)两点，则P，Q两点间的距离为 这就是空间两点间的距离公式. 思考交流：方程x2+y2+z2=1表示什么图形？ 解：∵x2+y2+z2=1， ∴方程x2+y2+z2=1表示以原点O为球心，以1为半径的球面. 例1:给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4,1,2)的距离为 解：设点P的坐标是(x,0,0)，由题意，得|P0P|= ∴(x-4)2=25， ∴点P的坐标为(9,0,0)或(-1,0,0). 即 解得x=9或x=-1. 练一练 1.设点P在x轴上，它到P1 的距离是到点P2(0,1,-1)的距离的2倍，求点P的坐标. 解：∵P在x轴上，∴设P点坐标为(x,0,0)， ∴x＝±1， ∵|PP1|＝2|PP2|， ∴点P坐标为(1,0,0)或(-1,0,0). 空间两点间距离公式是什么？回顾其推导过程.
