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课件网) 3.3.1 空间向量基本定理 新授课 1.理解并掌握空间向量基本定理及其意义. 2.会用一组基表示空间向量. 回顾平面向量基本定理，如果a，b是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量p，有且只有一对实数x，y，使p＝xa＋yb.若a，b不共线，我们把{a，b}叫作表示这一平面内所有向量的一组基. 类似地，任意一个空间向量p能否用任意三个不共面的向量a，b，c表示呢？ a b c p 知识点：空间向量基本定理 如图，过空间任意一点O作 ∵向量a,b,c不共面，∴O,A,B,C四点不共面. 作 当点P不在直线OC上时，过点P作与OC平行的直线交平面AOB于点Q，则 故存在实数z，使得 P A B C O Q a b c p 在平面AOB内，由平面向量基本定理可知： 从而，存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)，使得 当点P在直线OC上，则p∥c，故存在唯一的实数x，使得p=zc. 从而也存在唯一的三元有序实数组(x，y，z)=(0，0，z)，使得p=xa+yb+zc. 存在唯一的有序实数对(x，y)，使得 P A B C O Q 概念讲解 空间向量基本定理：如果向量a,b,c是空间三个不共面的向量，p是空间任意一个向量，那么存在唯一的三元有序实数组(x,y,z)，使得p= xa+ yb+zc． {a, b, c} 基 基向量 如果三个向量a,b,c不共面，那么所有空间向量组成的集合就是{p|p= xa+ yb+zc，x,y,z∈R}．这个集合可看作由向量a,b,c生成的． 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基 如何证明其唯一性呢？ 下面证明空间向量基本定理中三元有序实数组的唯一性. 证明：假设还有另一个三元有序实数组(x'，y'，z')也满足p=x'a+y'b+z'c， 则0=(x-x')a+(y-y')b+(z-z')c. 也就是说，向量a可以被向量b，c线性表示， 不难得出，此时向量a应该与向量b，c共面，这与a，b，c是空间三个不共面的向量矛盾， ∴x=x'，同理可得y=y'，z=z'， ∴空间向量基本定理中三元有序实数组具有唯一性. 不妨设x≠x'，则 练一练 1.设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一组基，则p是q的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解：当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当一组基，否则不能当，当{a，b，c}为一组基时，一定有a，b，c为非零向量. 因此p q，q p. B 2.(多选)若{a，b，c}是空间一组基，则下列各组中能构成空间的一组基的是( ) A.{a,2b,3c} B.{a＋b，b＋c，c＋a} C.{a＋b＋c，b＋c，c} D.{a＋2b,2b＋3c,3a－9c} 解：∵{a，b，c}是空间的一组基，∴a，b，c不共面， 练一练 ∴这三个向量是共面向量，故不能构成空间的一组基. 对于D，{a＋2b,2b＋3c,3a－9c}满足3a－9c＝3[(a＋2b)－(2b＋3c)]， 对于A，B，C选项，每组都是不共面的向量，能构成空间的一组基； ABC 解：∵点M是 A'B'C'D'的对角线的交点， 例1:如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，点M是 A'B'C'D'的对角线的交点，点N是棱BC的中点.如果 试用a，b，c表示 又 用一组基表示向量的步骤 (1)定基：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一组基. (2)找目标：用确定的基(或已知基)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果. (3)下结论：利用空间向量的一组基{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量. 归纳总结 练一练 解： 3.如图，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且 用向量 表示 A B M N P O C 根据今天所学，回答下列问题： 1.空间向量基本定理是什么？ 2.用一组基表示向量的步骤是什么？ ... ...
