综合拔高练练习-《精讲精练》26版高中同步新教材数学北师大版（2019）选择性必修第一册

综合拔高练 高考真题练　　　　　 　　　　 　　　　 考点1　用向量法解决立体几何中的证明、求值问题 1.(2023全国乙理,19)如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=2,BP,AP,BC的中点分别为D,E,O,AD=DO,点F在AC上,BF⊥AO. (1)证明:EF∥平面ADO; (2)证明:平面ADO⊥平面BEF; (3)求二面角D-AO-C的正弦值. 考点2　用坐标法解决立体几何中的证明、求值问题 2.(2023北京,16)如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=. (1)求证:BC⊥平面PAB; (2)求二面角A-PC-B的大小. 3.(2023新课标Ⅰ,18)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3. (1)证明:B2C2∥A2D2; (2)点P在棱BB1上,当二面角P-A2C2-D2为150°时,求B2P. 4.(2023新课标Ⅱ,20)如图,三棱锥A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E为BC的中点. (1)证明:BC⊥DA; (2)点F满足,求二面角D-AB-F的正弦值. 5.(2023全国甲理,18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,AA1=2,A1到平面BCC1B1的距离为1. (1)证明:A1C=AC; (2)已知AA1与BB1的距离为2,求AB1与平面BCC1B1所成角的正弦值. 6.(2023天津,17)三棱台ABC-A1B1C1中,已知A1A⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA1=2,A1C1=1,N为线段AB的中点,M为线段BC的中点. (1)求证:A1N∥平面C1MA; (2)求平面C1MA与平面ACC1A1所成角的余弦值; (3)求点C到平面C1MA的距离. 考点3　用空间向量解决立体几何中的最值问题 7.(2021全国甲理,19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1B1B为正方形,AB=BC=2,E,F分别为AC和CC1的中点,D为棱A1B1上的点,BF⊥A1B1. (1)证明:BF⊥DE; (2)当B1D为何值时,面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小 8.(2020全国新高考Ⅰ,20)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)证明:l⊥平面PDC; (2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值. 高考模拟练　　　　　 　　　　 　　　　 应用实践 1.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面A1B1C1D1为矩形,AB=1,BC=3,且,若点B到平面AB1D1的距离为,则点C到直线AM的距离为(　　) A.　　　　　　B. C.　　　　　　 D. 2.已知直三棱柱ABC-A'B'C'的底面是正三角形,侧棱长与底面边长相等,P是侧棱AA'上的点(不含端点).记直线PB与直线AC的夹角为α,直线PB与直线B'C的夹角为β,二面角P-B'B-C的平面角为γ,则(　　) A.α>β>γ　　　　　　B.α<β<γ C.α>γ>β　　　　　　 D.β>α>γ 3.(多选题)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M是AA1的中点,过点B的平面α满足CM⊥平面α,则下列说法正确的有(　　) A.若P是线段CC1上的动点,则直线AP与平面α夹角的正弦值的取值范围是 B.点C到平面α的距离为 C.平面α截正方体所得截面的面积等于 D.平面α截正方体所得截面的形状是平行四边形 4.如图,三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均相等,∠ACC1=2∠A1AB=120°,E,F分别为B1C1,A1C1的中点,则异面直线BE与CF夹角的余弦值为　　　　. 5.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,E,F分别为PA,BC的中点. (1)证明:EF∥平面PCD; (2)若PD⊥平面ABCD,∠ADC=120°,且PD=2,AD=4,求直线AF与平面DEF夹角的正弦值. 6.如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是边长为3的正方形,平面CDE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE⊥CD,DE=3AF=3. (1)求证:AC⊥平面BDE; (2)求平面BEF与平面BDE夹角的余弦值; (3)在线段CE上是否存在点P,使得AP∥平面BEF 若存在,指出点P的位置并证明;若不存在,请说明理由. 7.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是等腰梯形,CD=2AB=2BC=2AD=4,平面ADP⊥平面ABCD,E是PC的中点,且△ADP为等边三角形,平面ADP∩平面PBC=m. (1)设m∩直线BC=M,求点M到平面PDC的距离; (2)求二面角P-BE-D的平面角的正弦值. 8.在梯形ABCD ... ...