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课件网) 1.定义 在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线l,把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋 转到和直线l首次重合时所成的角,称为直线l的倾斜角.通常倾斜角用α表示.(直线的倾斜角是 反映直线的倾斜程度的量,每一条直线都有倾斜角) 2.范围 当直线l和x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0.因此,直线的倾斜角α的取值范围为[0,π). §１ 直线与直线的方程 知识点 1 直线的倾斜角 知识 清单破 1.1 一次函数的图象与直线的方程 1. 2 直线的倾斜角、斜率及其关系 经过不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线l的斜率k= (x1≠x2). (1)斜率是一个比值,它与P1,P2两点在直线上的位置无关,而与两点横、纵坐标之差的顺序有 关(即x2-x1,y2-y1中x2与y2对应,x1与y1对应). (2)运用斜率的两点式的前提条件是“x1≠x2”,也就是直线不与x轴垂直,而当直线与x轴垂直 时,直线的倾斜角为90°,斜率不存在. 知识点 2 斜率的两点式 由正切函数的概念可知,倾斜角不是 的直线,它的斜率k和它的倾斜角α满足k=tan α . 当α∈ 时,斜率k≥0,且k随倾斜角α的增大而增大; 当α∈ 时,斜率k<0,且k随倾斜角α的增大而增大; 当α= 时,直线l与x轴垂直,此时直线l的斜率不存在. 知识点 3 直线的斜率与倾斜角的关系 若k是直线l的斜率,则v=(1,k)是它的一个方向向量;若直线l的一个方向向量的坐标为(x,y),其 中x≠0,则它的斜率k= . 知识点 4 直线的斜率与方向向量的关系 知识辨析 判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”. 1.当k<0时,直线的倾斜角为钝角. ( ) 2.过任意两点的直线的斜率都能用斜率的两点式求解. ( ) 3.倾斜角为0的直线只有一条. ( ) 4.若直线的一个方向向量为v=(2,4),则此直线的斜率为2. ( ) 5.若两直线的斜率相等,则它们的倾斜角也一定相等. ( ) 6.直线的倾斜角构成的集合与直线构成的集合建立了一一对应的关系. ( ) 当过两点的直线垂直于x轴时,不能用斜率的两点式求解. √ 提示 提示 所有与x轴平行或重合的直线的倾斜角均为0. √ √ 直线的倾斜角与斜率的关系 (1)当直线的倾斜角α满足0°≤α<90°时,斜率非负,倾斜角越大,斜率越大; (2)当直线的倾斜角α满足90°<α<180°时,斜率为负,倾斜角越大,斜率越大; (3)k=tan α 的图象如图所示. 由斜率k的范围截取函数图象,进而可得倾斜角α的范围;反过来,由倾斜角α的范围截取函 数图象,进而可得斜率k的范围. 讲解分析 疑难 情境破 疑难 1 倾斜角与斜率的关系及应用 典例 已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点. (1)求直线l的倾斜角α的取值范围; (2)若直线l的斜率存在,求直线l的斜率k的取值范围. 思路点拨 作出图形并观察,可以发现直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间(包括 PB与PA的倾斜角). 解析 如图,由题意可知kPA= =-1,kPB= =1,所以直线PA的倾斜角为 ,PB的倾斜角为 . (1)由图可知,直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间(包括PB与PA的倾斜角),∵PB的 倾斜角是 ,PA的倾斜角是 , ∴直线l的倾斜角α的取值范围是 ≤α≤ . (2)根据倾斜角与斜率的关系知,直线l的斜率k的取值范围是k≤-1或k≥1. 易错警示 本题易错误地认为-1≤k≤1,结合图形考虑,l的倾斜角应介于直线PB与直线PA的 倾斜角之间(包括PB与PA的倾斜角),即 ≤α≤ ,利用k=tan α(0≤α<π)的图象(如图所示)得 到k的取值范围是k≤-1或k≥1. 1.若点A,B,C都在某条斜率存在的直线上,则任意两点的坐标都可以确定这条直线的斜率,即 kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC);反之,若kAB=kAC(或kAB=kBC或kAC=kBC),则直线AB与AC(或AB与BC或AC 与BC)的倾斜角相同,又过同一点A(或B或C),所以点A,B,C在同一条直线上. 2.形如 的范围(最值)问题,可以利用 的几何意义(过定 ... ...
