4.5 一元二次方程根的判别式 课件(共22张PPT) 2025-2026学年数学青岛版九年级上册

(课件网) 第4章 一元二次方程 九年级上册 4.5 一元二次方程根的判别式 课前小测 1．一元二次方程的一般形式是什么？有哪些解法？ 如果方程有括号，先不要去括号，看能否用直接开平方法，不能用再看能否用因式分解法，再不能用就去掉括号整理成一般式，用公式法或配方法. ax2+bx+c = 0 (a≠0).直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法. 2.一元二次方程按照什么顺序来选择方法会更简便？ 课前小测 3.解方程x2＋21x－22＝0（用你认为最简便的方法）： 解：（x+22）（x-1）=0， x+22=0或x-1=0， x1=-22，x2=1. 情境引入 问题： 求出方程的解：2x2－6x－1＝0（公式法）． 我们在运用公式法求解一元二次方程 ax2+bx+c = 0 (a≠0)时，总是要求b2-4ac≥0.这是为什么？ 情境引入 b2-4ac值的正负与方程的根有什么关系呢？ 合作探究 探究：一元二次方程根的判别式 探究：一元二次方程根的判别式 问题1： 解方程x 2 + 2x + 5 = 0. 方法一：因为 22 - 4× 1× 5 < 0，所以无法用公式法解这个方程. 方法二：把方程ax2+bx+c = 0 (a≠0)配方，得（x+1）2 = -4 . 因为任何实数的平方都不可能是负数，所以任何实数都不会是原方程的根. 合作探究 探究：一元二次方程根的判别式 问题2：b2 - 4ac的值的正负与一元二次方程的根有什么关系呢？ 我们知道,任何一个一元二次方程 ax2+bx+c = 0(a≠0) 配方法 ∵a≠0，∴ 4a2＞0 ， 合作探究 所以 （1）当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根： （2）当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根： （3）当b2-4ac<0时， 而 不可能是负数， 所以方程没有实数根. 探究：一元二次方程根的判别式 合作探究 探究：一元二次方程根的判别式 一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 是否有实根，有实根时两个实根是否相等，均取决于一个含有该方程各项系数的代数式 b 2 - 4ac 的值的符号，因而把b 2 - 4ac叫做一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0的根的判别式，通常用Δ表示，即Δ = b 2 - 4ac . 归纳小结 一元二次方程ax 2 + bx + c = 0 （1）当Δ > 0 时有两个不相等的实根； 一元二次方程ax 2+ bx + c = 0 （1）如果有两个不相等的实根，那么Δ > 0； （2）如果有两个相等的实根，那么Δ = 0； （3）如果没有实根，那么Δ < 0 . 上面结论的逆命题也是正确的. 你能说出它的逆命题吗？ （3）当Δ < 0 时没有实根. （2）当Δ = 0 时有两个相等的实根； 典例分析 [例1] 不解方程，判断下列方程根的情况： （1） 2x 2 + x - 4 = 0； （2） 4y 2 + 9 = 12y； （3） 5（ t 2 + 1） - 6t = 0 . 解 ：（1）这里 a = 2， b = 1， c = -4 . ∵Δ = b 2 - 4ac = 12 - 4× 2× -4） = 33 > 0， ∴ 方程有两个不相等的实根. 典例分析 不解方程，判断下列方程根的情况： （1） 2x 2 + x - 4 = 0； （2） 4y 2 + 9 = 12y； （3） 5（ t 2 + 1） - 6t = 0 . （2）把原方程化为一般形式，得 4y 2 - 12y + 9 = 0 . 这里 a = 4， b = -12， c = 9 . ∵Δ = b 2 - 4ac =（-12）2 - 4× 4× 9 = 0， ∴ 原方程有两个相等的实根. （3）把原方程化为一般形式，得 5t 2 - 6t + 5 = 0 . 这里 a = 5， b = -6， c = 5 . ∵Δ = b 2 - 4ac =（-6）2 - 4× 5× 5 = -64 < 0， ∴ 原方程没有实根. [例1] 典例分析 [例2] 已知关于 x 的一元二次方程kx 2 - 3x + 1 = 0有两个不相等的实根. （1）求 k 的取值范围； （2）选择一个 k 的正整数值，并求出方程的根. 解 （1）∵ 关于 x 的一元二次方程kx 2 - 3x + 1 = 0有两个不相等的实根， ∴ Δ =（-3）2 - 4k > 0，即 9 - 4k > 0 . 解不等式，得k < ∵ kx 2 - 3x + 1 = 0 是一元二次方程，∴ k≠ 0 . 故 k 的取值范围是 k < 且 k≠ 0 . 典例分析 [例2] ... ...