中小学教育资源及组卷应用平台 导数求解双参数 【题型一】比值型 零点比大小法: 比较函数零点和直线的零点。 零点比大小是指将函数 与函数 的零点比较大小, 进而解决问题. 图 象上看, 是观察直线 与曲线 的横截距的大小关系. 此方法要求 函数具有凹凸性, 可以解决形如“已知 (或 恒成立, 求 的最值”的问题,一般有如下两种形式: (1) 若 恒成立, 为上凸函数, 如下左图, 则 ; (2) 若 恒成立, 为下凸函数, 如下右图, 则 . 由(1)或(2)得出 的大小,进而可以求得 的最值. （一）零点比大小法 【例1】设函数，若不等式对任意恒成立，求的最大值 【详解】由题意可知，对任意恒成立， 等价于， 如图，与轴交于点，直线在曲线上方， 则直线与轴交点小于等于， 即，所以，的最大值为，故答案为：． 【例2】当a＞0时，若不等式恒成立，则的最小值是_____． 【详解】由题意知：，由可得，即不等式恒成立， 令，易得为斜率大于0的一条直线，；, 当时，单增，当时，单减，又， 要使不等式恒成立，必有的零点与的零点重合 或者在的零点左侧，如图所示： 故有，解得， 当且仅当恰为在处的切线时取等， 此时的图像恒在图像的下方， 即满足恒成立，即恒成立.又， 故在处的切线方程为， 即时，取得最小值. 故答案为：. 【例3】设，若关于x的不等式在上恒成立，则的最小值是__． 【详解】，则，同时减去， 则，即， 再令，即，带入原式得：， 最后两边同时+1，则； 转化为，与横轴交于点，直线在曲线上方， 则直线与横轴交点小于等于2， 即，所以，的最小值为0，故答案为：0． 【例4】已知不等式 对 恒成立, 则 的最小值为 . 【详解】，令，，则， 令，。令，，则，故答案为： 【例5】（多选题）已知a，b为实数，当时，，则的值可能为（ ） A． B． C． D．2 【答案】BCD 【详解】令，则，则B、C、D选项满足.故选：BCD. 变式1 已知不等式对一切正数 恒成立, 则 的最小值为 . 【详解】 恒成立, 直线 在函数 图象的上方, 直线 在 轴上的截距为 , 函数 在 处的切线为 , 则 , 故 变式2已知，，若不等式对恒成立，则的取值范围是_____． 【答案】 【详解】显然，若，当时，有，而，矛盾，∴， 令，则恒成立，即，， 因为与在都是增函数，所以函数在是增函数， 又，当时，，所以存在使得， 在上，，单调递减，在上，，单调递增，且， ， ∴，， ∴， 当且仅当，即时取等号，所以的取值范围是．故答案为：． 变式3已知e为自然对数的底数，a，b为实数，且不等式对任意的恒成立．则的最大值为_____． 【答案】 【详解】，的零点为。的零点为，所以，则，可得。 变式4已知函数，当，恒成立，则的最大值为_____. 【答案】1 【详解】，，令，，令，， 则。综上可知，的最大值为1. 故答案为：1. 【题型二】单一变量 【例6】设．若正实数a，b满足：对于任意，都有，求的最大值． 【详解】若对于任意，都有，即可得恒成立， 令，则， 当时，恒成立，即在上单调递增， 显然当趋近于时，不等式并不恒成立，不合题意； 当时，令，解得， 所以当时，，此时在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 所以在处取得最小值， 即满足即可，即， 由可得， 设，则， 令可得，即时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以，即，所以的最大值为. 【例7】已知函数.设，若函数在区间上有一个零点，求的最小值以及此时的值. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为 ； （2）取到最小值，此时. 【详解】，则， 因为，存在，使，即， 且在区间上单调递减，在区间上单调递增. 因为在区间上有一个零点， 所以， 解得， ，因此. 设，则， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以，， 所以当解得：，时， 取到最小值，此时. 变式5 已知函数（，）且），若 ... ...
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