中小学教育资源及组卷应用平台 数列的和 知识点一：公式法 （1）等差数列{}的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列{}的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 知识点二：几种数列求和的常用方法 （1）倒序相加法：如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解． （2）裂项相消法：如果一个数列是分式形式，例如：，可以考虑用裂项相消求和． （3）错位相减法：如果一个数列是或的形式，且为等差数列，为等比数列，那么求这个数列的前n项和，即可用错位相减法求解． （4）分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，如：，则求和时可用分组求和法，分别对和求和后相加减． （5）奇偶并项求和：如果一个数列通项公式中含有，，等形式，或者奇偶项的通项公式不同的话，那么将奇偶项合并成一个新的数列. 知识点三：裂项相消（重点） 常见的裂项技巧：， 其中1，A小B大；2，；3， 积累裂项模型1：等差型 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） 积累裂项模型2：根式型 （1） （2） （3） （4） 积累裂项模型3：指数型 （1） （2） （3） （4） （二）带的数列：，此时第1,2项为正，3,4项为负，依次类推，所以需要裂开成两项相加的形式，如此一来相邻项可以约去。 （1） （2） （3） （4） （5） 【题型一】倒序相加法 【例1】已知函数，，令，求数列的前2020项和. 【解析】因为，由（1）知，可得， 所以，① 又因为，② ①②，得， 所以. 变式1已知函数，正项等比数列满足，则值是多少？. 【解析】因为，所以. 因为数列是等比数列，所以， 即. 设 ①， 又＋…＋ ②， ①+②，得，所以. 【题型二】 裂项相消法求和 考向1 形如型(k为非零常数) 【例2】设数列，求数列的前项和. 【答案】 【详解】, 所以数列的前项和: . 变式2 已知，记，求数列的前20项和. 【详解】可知， 设数列的前和为，则 ， 所以 所以数列的前20和为 考向2 形如型 【例3】已知数列，求数列的前项和． 【解析】，所以 所以 .. 变式3 数列满足，且. （1）设，证明：数列是等差数列；（2）设，求数列的前项和为. 【答案】（1）证明见详解；（2）. 【详解】（1）由得，则，即，因为，所以， 即数列是以为公差的等差数列； （2）因为，，所以；由（1）得，，即， 则，所以，，…，， 以上各式相乘可得，，所以； 因此， 因此数列的前项和为 . 考向3 形如型 【例4】已知数列满足，.（1）求数列的通项公式； （2）令，记数列的前项和为，若对于任意的，均有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由，则，两式相除得：.当为奇数时，， 当为偶数时，，∴. （2）由（1）知， 则， ∴，由恒成立，则. 【例5】在数列中，，，且对任意的N*，都有. （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，若对任意的N*都有，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ） 【详解】（Ⅰ）由可得． 又，，所以，故.所以是首项为2，公比为2的等比数列.所以. 所以. （Ⅱ）因为. 所以. 又因为对任意的都有，所以恒成立， 即,即当时，. 变式4已知数列的前n项和为，且满足，数列满足，，. (1)求数列，的通项公式； (2)设，且数列的前n项和为，若，恒成立，求常数k的最小值. 【解析】(1)由，得当时，， 当时，， 两式相减得，， 数列是首项为2，公比为2的等比数列，. 由，，，，得，，…，， 累加得，，. (2)由（1）得 ， ， ，即常数k的最小值为. 考向4 形如型（将分子构造为） 【例6】已知 ... ...
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