小专题(四) 勾股定理的综合应用 类型一 利用勾股定理求周长或面积 1. (2024·淮安)如图,用9个直角三角形拼成一个类似海螺的图形,其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1.记这个图形的周长(实线部分)为l,则下列整数与l最接近的是 ( ) A. 14 B. 13 C. 12 D. 11 2. 勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》,汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅如图①所示的“弦图”,后人称之为“赵爽弦图”.如图②所示的图形是由“弦图”变化得到的,且由八个全等的直角三角形拼接而成.记正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3.若正方形EFGH的边长为4,则S1+S2+S3的值为 . 3. (2024·苏州工业园区期中)如图,长方形纸片ABCD的长AB=8,宽AD=4.将该纸片沿EF折叠,使点A与点C重合,折叠后在其一面着色.求: (1) FG的长; (2) 图中涂色部分的面积. 第3题 类型二 利用勾股定理求最短路程 第4题 4. 如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B与点C之间的距离为5.如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A处爬到点B处,那么它需要爬行的最短路程为 . 类型三 利用勾股定理解决折叠问题 第5题 5. 如图,E是正方形纸片ABCD的边BC的中点,将正方形ABCD沿AE折叠,得到点B的对应点为F,延长EF,交边DC于点P.如果AB=6,那么DP的长为 . 小专题(四) 勾股定理的综合应用 1. B 解析:∵ 易得第一个三角形的斜边长为;第二个三角形的斜边长为;…;第九个三角形的斜边长为,∴ 这个图形的周长l为1+1×9+=10+.∵ 与最接近的整数是3,∴ 与10+最接近的整数是13. 2. 48 解析:设八个全等的直角三角形的长直角边的长为a,短直角边的长为b,则S1=(a+b)2,S2=42=16,S3=(a-b)2.由题意,得a2+b2=EF2=16,∴ S1+S2+S3=(a+b)2+16+(a-b)2=2(a2+b2)+16=2×16+16=48. 3. (1) ∵ 四边形ABCD是长方形,∴ CD=AB=8,∠D=90°.由折叠的性质,得∠G=∠D=90°,FG=DF,CG=AD=4.设FG=x,则DF=x,FC=CD-DF=8-x.∵ 在Rt△FGC中,FG2+CG2=FC2,∴ x2+42=(8-x)2,解得x=3,∴ FG=3 (2) 由(1),知FC=8-x=5,∴ S△EFC=FC·BC=×5×4=10.由折叠的性质,得S四边形EFGC=S四边形EFDA,∴ S涂色部分=S四边形EFGC+S△BEC=S四边形EFDA+S△BEC=S长方形ABCD-S△EFC=8×4-10=32-10=22 4. 25 5. 2
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