北师大版高中数学选择性必修第一册第三章空间向量与立体几何重点突破(六)空间直角坐标系的构建问题课件(共27张PPT)+学案

学习目标 1.了解空间坐标系建立的过程与必要性.　2.能建立空间直角坐标系解决空间几何问题，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 题型一　利用共顶点的互相垂直的三条棱建系 如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB＝90°，｜AC｜＝｜BC｜＝｜CC1｜＝2. (1)求证：AB1⊥BC1； (2)求点B到平面AB1C1的距离. 解：(1)证明：如图所示，以点C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 依题意得A(2，0，0)，B(0，2，0)，B1(0，2，2)，C1(0，0，2).所以＝(－2，2，2)，＝(0，－2，2). 因为·＝(－2，2，2)·(0，－2，2)＝0， 所以AB1⊥BC1. (2)由(1)知＝(－2，0，2)，＝(－2，2，2). 设n1＝(x1，y1，z1)是平面AB1C1的法向量， 由 所以 令z1＝1，则n1＝(1，0，1)，因为＝(－2，2，0)， 所以点B到平面AB1C1的距离为d＝ ＝＝. 1.在长方体、正方体中，一般选择共顶点的三条相互垂直的棱为坐标轴建系. 2.直棱柱的侧棱垂直于底面，如果在底面上有相互垂直的邻边，也可构造此类建系模型. 对点练1.如图，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系，求： (1)平面ABCD的一个法向量； (2)平面SAB的一个法向量； (3)平面SCD的一个法向量. 解：以点A为原点，AD，AB，AS所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D，S(0，0，1). (1)因为SA⊥平面ABCD， 所以＝(0，0，1)是平面ABCD的一个法向量. (2)因为AD⊥AB，AD⊥SA，AB∩SA＝A，AB，SA 平面SAB， 所以AD⊥平面SAB， 所以＝是平面SAB的一个法向量. (3)在平面SCD中，＝，＝(1，1，－1). 设平面SCD的法向量为n＝(x，y，z)， 则n⊥，n⊥， 所以 所以取y＝－1，得x＝2，z＝1， 所以n＝(2，－1，1). 所以n＝(2，－1，1)是平面SCD的一个法向量. 题型二　利用正棱锥底面中心与高所在的直线建系 如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA＝AB＝2，点E，F分别为PB，PD的中点.若平面AEF与棱PC交于点G，求平面AEGF与平面ABCD的夹角的余弦值. 解：如图所示，连接AC，BD交于点O，连接OP，则OA，OB，OP两两互相垂直. 所以以点O为原点，OA，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系. 因为PA＝AB＝2，由勾股定理易知OA＝OB＝OP＝＝2. 从而可得有关点的坐标分别为A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(－2，0，0)，D(0，－2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，F(0，－1，1). 所以＝(－2，1，1)，＝(－2，－1，1). 设平面AEGF的法向量为n＝(x，y，z)， 则 可取x＝1，解得y＝0，z＝2， 从而得到平面AEGF的一个法向量为n＝(1，0，2). 平面ABCD的法向量显然可取为m＝(0，0，1)， 从而cos〈m，n〉＝＝＝. 所以平面AEGF与平面ABCD的夹角的余弦值是. 正棱锥底面中心与顶点的连线与底面垂直，建系时常作z轴. 对点练2.已知正四棱锥V-ABCD中，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为2a，高为h. (1)求∠DEB的余弦值； (2)若BE⊥VC，求∠DEB的余弦值. 解：(1)如图所示，以V在底面ABCD内的正投影O为坐标原点建立空间直角坐标系.其中Ox∥BC，Oy∥AB.由AB＝2a，OV＝h， 知B(a，a，0)，C(－a，a，0)，D(－a，－a，0)，V(0，0，h)，E. 所以＝，＝. 所以cos〈，〉＝＝， 即cos∠DEB＝. (2)因为BE⊥VC，所以·＝0， 又＝(－a，a，－h)， 即·(－a，a，－h)＝0， 所以a2－－＝0，所以h＝a. 此时cos〈，〉＝＝ ＝－＝－， 即cos∠DEB＝－. 题型三　利用线面、面面的垂直关系建系 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD＝2BC＝2AB＝4，PA＝2，且∠ABC＝60°，点E为棱PD上一点(不与P，D重合)，平面BCE交棱PA于点F. (1)求证：BC∥EF； (2)若E为PD中点，求平面ACE与平面PAD夹角的余弦 ... ...