章末综合提升 探究点一 直线的方程 已知点A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0).求： (1)BC边上的中线所在直线的方程； (2)BC边上的高所在直线的方程； (3)三角形ABC的面积. 解：(1)因为A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)， 所以线段BC的中点坐标为( 1，). 易知BC边上的中线所在直线的斜率不存在， 所以BC边上的中线所在的直线方程为x＝1. (2)因为kBC＝＝， 所以BC边上的高所在直线的斜率k＝－4， 所以BC边上的高所在直线的方程为y－3＝－4(x－1)，即4x＋y－7＝0. (3)因为直线BC的方程为y－0＝(x＋1)，即x－4y＋1＝0，则点A到直线BC的距离d＝＝. 又｜BC｜＝＝， 所以S△ABC＝××＝5. 求直线方程的关注点 方法 直接法、待定系数法 关键 掌握直线方程五种形式的适用条件及相互转化，能根据条件灵活选用方程 注意 当不能确定某种条件是否具备时，要另行讨论条件不满足的情况 对点练1.(1)已知直线l的一个法向量为(1，－2)，且经过点A(1，0)，则直线l的方程为( ) A.x－y－1＝0 B.x＋y－1＝0 C.x－2y－1＝0 D.x＋2y－1＝0 (2)经过点(1，3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是( ) A.x＋y＝4 B.y＝x＋2 C.y＝3x或x＋y＝4 D.y＝3x或y＝x＋2 答案：(1)C(2)D 解析：(1)直线l的一个法向量为(1，－2)，所以设直线l的方程为x－2y＋C＝0，代入点A(1，0)，得1－0＋C＝0，解得C＝－1，故直线l的方程为x－2y－1＝0.故选C. (2)当直线过原点时，方程为y＝3x，符合题意；当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1，将点(1，3)代入直线方程中，则＋＝1，解得a＝－2，所以直线方程为y＝x＋2，综上，所求直线的方程为y＝3x或y＝x＋2.故选D. 探究点二 两条直线的平行与垂直 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值. (1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直； (2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等. 解：(1)因为l1⊥l2， 所以a(a－1)＋(－b)·1＝0，即a2－a－b＝0.① 又点(－3，－1)在l1上， 所以－3a＋b＋4＝0.② 由①②解得a＝2，b＝2. (2)因为l1∥l2且l2的斜率为1－a， 所以l1的斜率也存在，＝1－a，即b＝. 故l1和l2的方程可分别表示为 l1：(a－1)x＋y＋＝0， l2：(a－1)x＋y＋＝0. 因为原点到l1与l2的距离相等， 所以4＝，解得a＝2或a＝. 因此 直线一般式方程下两直线的平行与垂直 已知两直线的方程为l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同时为0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2 A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0，l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0. 对点练2.(1)已知直线l1：ax－3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0.若l1⊥l2，则实数a的值为 . (2)已知两直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，若l1∥l2，则m＝ . 答案：(1)－3(2)－1 解析：(1)因为直线l1：ax－3y＋1＝0与l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0垂直，所以2a－3(a＋1)＝0，解得a＝－3. (2)因为直线l1：x＋my＋6＝0与l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0平行，所以解得m＝－1. 探究点三 两直线的交点与距离问题 已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a＞0)，直线l2：4x－2y－1＝0和直线l3：x＋y－1＝0，且l1和l2的距离是. (1)求a的值； (2)能否找到一点P，使得P点同时满足下列三个条件： ①P是第一象限的点； ②P点到l1的距离是P点到l2的距离的； ③P点到l1的距离与P点到l3的距离之比是∶？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由. 解：(1)l2的方程即为2x－y－＝0， 所以l1和l2的距离d＝＝， 所以｜a＋｜＝. 因为a＞0，所以a＝3. (2)设点P(x0，y0)，若P点满足条件②， 则P点在与l1和l2平行的直线l'：2x－y＋c＝0上，且＝×， 即c＝或c＝. 所以2x0－y0＋＝0或2x0－y0＋＝0. 若点P满足条件③，由点到直线的距离公式，得＝·， ... ...
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