北师大版高中数学选择性必修第一册第二章圆锥曲线3.2抛物线的简单几何性质课件(共65张PPT)+学案

3.2　抛物线的简单几何性质 学习目标 1.了解抛物线的简单几何性质，培养数学抽象的核心素养.　2.能利用抛物线的几何性质解决相关问题，培养直观想象、数学运算的核心素养. 任务一　抛物线的简单几何性质 问题1.类比椭圆和双曲线的几何性质的探索过程，你认为抛物线有哪些简单的几何性质？ 提示：范围、对称性、顶点及离心率等. 问题2.试以y2＝2px(p＞0)为研究对象，探讨抛物线的范围、对称性及顶点.如何研究这些性质？ 提示：(1)范围：由方程y2＝2px(p＞0)可知，对于抛物线y2＝2px(p＞0)上的任意一点M(x，y)，都有x≥0，y∈R，所以这条抛物线在y轴的右侧，开口向右；当x的值增大时，｜y｜也随之增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸. (2)对称性：观察曲线，可以发现，抛物线y2＝2px(p＞0)关于x轴对称.抛物线只有一条对称轴. (3)顶点：抛物线和它的对称轴的交点叫作抛物线的顶点.抛物线的顶点坐标是坐标原点(0，0). 抛物线的简单几何性质 图形 标准方程 y2＝2px(p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 对称性 x轴 x轴 y轴 y轴 焦点 F(，0) F(－，0) F(0，) F(0，－) 准线方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 顶点 O(0，0) 离心率 e＝1 [微提醒]　(1)只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.(2)过焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，通径长为2p. 角度1　根据抛物线的几何性质求标准方程 (链教材P73例3)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程. 解：椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上， 所以抛物线的对称轴为x轴， 则设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)或y2＝－2px(p＞0). 因为抛物线的焦点到顶点的距离为3， 即＝3，所以p＝6， 所以抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x， 相对应的准线方程分别为x＝－3，x＝3. 把握三个要点确定抛物线的简单几何性质 1.开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负. 2.关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴. 3.定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1. 对点练1.边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是(　　) A.y2＝x B.y2＝－x C.y2＝±x D.y2＝±x 答案：C 解析：设抛物线方程为y2＝ax(a≠0).又A(±，)(取点A在x轴上方)，则有＝±a，解得a＝±，所以抛物线方程为y2＝±x.故选C. 角度2　抛物线的几何性质的应用 已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长. 解：如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＝2px1，＝2px2. 又｜OA｜＝｜OB｜， 所以＋＝＋， 即－＋2px1－2px2＝0， 整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0. 因为x1＞0，x2＞0，2p＞0，所以x1＝x2， 由此可得｜y1｜＝｜y2｜， 即线段AB关于x轴对称，由此得∠AOx＝30°， 所以y1＝x1，与＝2px1联立， 解得y1＝2p.所以｜AB｜＝2y1＝4p，即这个三角形的边长为4p. 利用抛物线的性质可以解决的问题 1.对称性：解决抛物线的内接三角形问题. 2.焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. 3.范围：解决与抛物线有关的最值问题. 4.焦点：解决焦点弦问题. 对点练2.已知A，B是抛物线y2＝2px(p＞0)上两点，O为坐标原点，若｜OA｜＝｜OB｜，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程. 解：如图所示， 设点A(x0，y0)， 由题意可知点B(x0，－y0)， 因为F是△AOB的垂心， 所以AF⊥OB， 所以kAF·kOB＝－1，即·＝－1， 所以＝x0， 又因为＝2px0，所以x0＝2p＋＝. ... ...