1.3 全概率公式 学习目标 1.结合古典概型，理解并掌握全概率公式. 2.会利用全概率公式计算概率，培养数学运算的核心素养. *3.了解贝叶斯公式. 4.借助全概率公式的应用，培养数学建模的核心素养. 任务一 全概率公式 问题1.两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现任取一零件，如何求它是合格品的概率？ 提示：设事件A表示“取到的零件为合格品”，事件Bi表示“零件为第i台机床的产品”，i＝1，2. 其中B1，B2互斥，A发生总是伴随着B1，B2之一同时发生，即A＝B1A∪B2A，且B1A，B2A互斥，运用互斥事件概率的加法公式得到P(A)＝P(B1A)＋P(B2A)，再对求和中的每一项运用乘法公式得P(A)＝P(B1)P＋P(B2)P＝×0.96＋×0.93＝0.95. 1.设Ω是试验E的样本空间，B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一组事件，若 (1)BiBj＝ ，其中i≠j(i，j＝1，2，…，n)， (2)B1∪B2∪…∪Bn＝Ω， 则称B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分. 条件(1)表示每次试验B1，B2，…，Bn中只能发生一个； 条件(2)表示每次试验B1，B2，…，Bn必有一个发生. 2.定义：设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(Bi)＞0(i＝1，2，…，n)，则对任意一个事件A有P(A)＝PP，称上式为全概率公式. (链教材P192例7)2025年某公司推出高、中、低3个价位的S型新能源汽车，这3个价位的新能源汽车的销量之比为3∶3∶4，用户对这3个价位的新能源汽车的满意率分别为80％，60％，70％，求用户对S型新能源汽车的满意率. 解：设B1＝“用户购买的是高价位的S型新能源汽车”，B2＝“用户购买的是中价位的S型新能源汽车”，B3＝“用户购买的是低价位的S型新能源汽车”， A＝“用户对S型新能源汽车满意”， 则B1，B2，B3两两互斥，且P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.3，P(B3)＝0.4， P(A｜B1)＝0.8，P(A｜B2)＝0.6，P＝0.7， 由全概率公式得，P(A)＝P(B1)P(A｜B1)＋P(B2)P(A｜B2)＋P(B3)P ＝0.3×0.8＋0.3×0.6＋0.4×0.7＝0.7. 1.全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一复杂事件A的概率求解问题转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题，即“化整为零”求多事件的全概率问题. 2.运用全概率公式的一般步骤 (1)求出样本空间Ω的一个划分B1，B2，…，Bn； (2)求P(Bi)(i＝1，2，…，n)； (3)求P(A｜Bi)(i＝1，2，…，n)； (4)求目标事件的概率P(A). 对点练1.某公司餐厅有米饭和面食两类主食，员工小张每天中午选择其中一种就餐，若小张第一天中午选择面食，则第二天中午选择米饭的概率为，若小张第一天中午选择米饭，则第二天中午选择面食的概率为.已知小张第一天中午选面食的概率是，求小张第二天中午吃米饭的概率. 解：记B1＝“小张第一天中午吃面食”，B2＝“小张第一天中午吃米饭”， A＝“小张第二天中午吃米饭”，由题意：P(B1)＝，P(B2)＝，P(A｜B1)＝，P(A｜B2)＝， 由全概率公式得，P(A)＝P(B1)P(A｜B1)＋P(B2)P(A｜B2)＝×＋×＝， 即小张第二天中午吃米饭的概率为. 任务二 *贝叶斯公式 问题2.两台机床加工同样的零件，第一台的废品率为0.04，第二台的废品率为0.07，加工出来的零件混放，并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍，现随机取到一合格零件，那它来自哪台机床的可能性较大？ 提示：由问题1可知取一产品是合格品的概率为P(A)＝P(B1)P＋P(B2)P＝×0.96＋×0.93＝0.95， 则P＝＝＝≈0.67， P＝＝＝≈0.33. 0.67＞0.33，则随机取到一合格零件，那它来自第一台机床的可能性较大. 定义：设B1，B2，…，Bn为样本空间Ω的一个划分，若P(A)＞0，P(Bi)＞0(i＝1，2，…，n)，则P(Bi｜A)＝，称上式为贝叶斯公式. 设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正.一射手用校正过的 ... ...
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