北师大版高中数学选择性必修第一册第六章概率3.1离散型随机变量的均值课件(共61张PPT)+学案

§3　离散型随机变量的均值与方差 3.1　离散型随机变量的均值 学习目标 1.通过具体实例，理解离散型随机变量的均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值，培养数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养.　2.掌握两点分布的均值.　3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题，培养数学运算、数学建模的核心素养. 任务一　离散型随机变量的均值 问题.已知有12个西瓜，其中重5 kg的有4个，重6 kg的有3个，重7 kg的有5个.请思考： (1)任取一个西瓜，用X表示这个西瓜的重量，试求X的分布列； (2)如何求西瓜的平均重量？ 提示：(1)X的分布列为 X 5 6 7 P (2)＝5×＋6×＋7×＝. 1.定义：设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望(简称期望). 2.意义：均值EX刻画的是X取值的“中心位置”，反映了离散型随机变量X取值的平均水平. 3.两点分布的均值：若随机变量X服从参数为p的两点分布，则EX＝p. (链教材P205例3)(2025·山东青岛期中)一个袋子里装有编号1，2，3的3个红球与编号1，2的2个黄球，从中逐一取球，已知每个球被取到的可能性相同.若取后不放回，设取完黄球所需的次数为X，求X的分布列及均值. 解：由题意知Y的可能取值为2，3，4，5. 当X＝2时，表示前2次取的都是黄球， 所以P(X＝2)＝＝； 当X＝3时，表示前2次中取得1个黄球，1个红球，第3次取得黄球， 所以P(X＝3)＝＝； 当X＝4时，表示前3次中取得1个黄球，2个红球，第4次取得黄球， 所以P(X＝4)＝＝； 当X＝5时，表示前4次中取得1个黄球，3个红球，第5次取得黄球， 所以P(X＝5)＝＝. 所以Y的分布列为 X 2 3 4 5 P 所以EX＝2×＋3×＋4×＋5×＝4. [变式探究] (变条件，变设问)在本例中，若条件改为从袋中同时取出2个球，求2球的编号之和Y的均值. 解：由题意知Y的可能取值为2，3，4，5. 当Y＝2时，表示2球的编号都是1，所以P(Y＝2)＝＝； 当Y＝3时，表示2球的编号一个是1，一个是2，所以P(Y＝3)＝＝＝； 当Y＝4时，表示2球的编号一个是1，一个是3；或表示2球的编号一个是2，另一个也是2，所以P(Y＝4)＝＝； 当Y＝5时，表示2球的编号一个是2，一个是3， 所以P(Y＝5)＝＝＝. 所以Y的分布列为 Y 2 3 4 5 P 所以EY＝2×＋3×＋4×＋5×＝. 求随机变量X的均值的方法和步骤 第一步：理解随机变量X的意义，写出X所有可能的取值； 第二步：求出X取每个值的概率P(X＝k)； 第三步：写出X的分布列； 第四步：利用均值的定义EX＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn，求EX. 对点练1.(2025·湖南邵阳期中)已知10道试题中有4道选择题，依次不放回的抽取2道题目，设X为抽取的2道题中选择题的个数，求随机变量X的分布列及其均值. 解：X的可能取值为0，1，2， P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝，P(X＝2)＝＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 所以EX＝＋＝＝. 任务二　均值的函数性质 (2025·河南濮阳高二期末)已知随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 设Y＝3X－2，则EY＝(　　) A. B. C.－ D.－ 答案：A 解析：由题可知＋＋m＝1，解得m＝. 法一：随机变量Y的分布列为 Y －2 1 4 P 所以EY＝－2×＋1×＋4×＝.故选A. 法二：由随机变量X的分布列可得EX＝0×＋1×＋2×＝，而Y＝3X－2，所以EY＝3EX－2＝3×－2＝.故选A. 求线性关系的随机变量Y＝aX＋b均值的方法 1.定义法：先列出Y的分布列，再求均值. 2.性质法：若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b均是常数)也是随机变量，且EY＝E(aX＋b)＝aEX＋b. 注意：性质法仅适合线性关系，如果是其他函数关系，一般选用定义法. 对点练2.(1)已知离散型随机变量X的分布列如下： X －1 0 a 2 P b 若E＝5，则a＋b＝(　　) A. B.1 C. D. (2)设随机变量X的分布列如 ... ...