24.1.2 垂直于弦的直径 学案（含答案） 人教版数学九年级上册

2025-2026学年人教版数学九年级上册 24.1.2 垂直于弦的直径 预习讲义 思维导图 学习目标 理解垂径定理及其推论，掌握直径与弦垂直时的性质关系 能运用垂径定理解决弦长、弦心距、半径之间的计算问题 掌握利用垂径定理作弦的垂直平分线的方法 培养通过几何画图验证定理的实践能力 知识点梳理 1. 垂径定理（核心定理） 内容：直径垂直于弦时，必然平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧。 几何语言：若直径AB⊥弦CD于E，则CE=ED，弧AC=弧AD，弧BC=弧BD。 2. 垂径定理的推论 推论1：平分弦（非直径）的直径垂直于该弦，并平分其对应的弧。 推论2：弦的垂直平分线必过圆心，且平分该弦对应的弧。 3. 相关概念与关系 弦心距：圆心到弦的距离（即垂线段长度），与弦长、半径满足勾股定理： （为半径，为弦心距，为弦长）。 应用场景：计算拱桥高度、管道直径等实际问题。 4. 作图方法 已知弦和圆心时，通过作弦的垂线（即直径）确定平分点。 已知弦的垂直平分线时，利用其过圆心的性质确定圆心位置。 易错点提醒 定理条件混淆： 错误认为“平分弦的直线一定垂直于弦”（需强调被平分的弦不能是直径）。 忽略“直径”条件，误将普通弦的垂直平分线当作直径。 计算错误： 未正确建立弦心距、半径、弦长的勾股关系，导致公式套用错误。 混淆弦长与半弦长（如计算时未将弦长除以2）。 几何作图问题： 作垂直平分线时未通过圆心，导致结论错误。 误将非直径的弦当作对称轴使用。 知识点小结 核心定理：垂径定理是圆的对称性的直接体现，揭示了直径、弦、弧的垂直平分关系。 关键公式：弦长计算 ，弦心距 。 应用要点： 实际问题中优先确定圆心和半径。 证明题中常需连接半径构造直角三角形。 注意事项： 垂径定理仅适用于直径与弦垂直的情形。 平分弦的直径必须满足“弦非直径”的条件。 注：本节是圆的性质的核心内容，需结合图形理解定理的几何意义，并通过典型例题掌握计算与证明方法。 巩固练习 一、选择题 1．如图，残破的轮子上，弓形的弦 为 8 cm ，高 为 2 cm ，则这个轮子的半径长为（ ） A． B．5 C． D．17 2．如图，是的直径，弦于点E，，，则（　　）． A．5 B．4 C．3 D．2 3．“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，弦，垂足为点，寸，寸，则直径的长度是（　　） A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸 4．如图，MN所在的直线垂直平分线段AB，利用这样的工具，可以找到圆形工件的圆心．如果使用此工具找到圆心，则最少使用的次数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列判断正确的是(　　) A．平分弦的直径垂直于弦 B．平分弦的直径必平分弦所对的两条弧 C．弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D．平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 二、填空题 6．一根排水管的截面如图所示．已知排水管的半径 ，水面宽 ，则截面圆心 到水面的距离 为　 　cm ． 7．如图，一个宽为2cm的刻度尺在圆上移动，当刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆两个交点处的读数恰好为“2”，“8”（单位：cm），那么，该圆的半径为　 　． 8．的半径长为5，弦，则弦的弦心距为　 　． 9．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且当圆被水面截得的弦为6米时，圆心到水面的距离为4米，则该圆的半径为　 　． 三、解答题 10．如图，M，N分别是⊙O的弦AB，CD的中点，AB=CD．求证：∠AMN=∠CNM． 11．某地欲搭建一桥，桥的底部两端间的距离，称为跨度，桥面最高点到的距离称拱高，当L和h确定时，有两种设计方案可供选择．①抛物线型，②圆弧型．已知这座桥的跨度米，拱高米． （1）如果设计成抛物 ... ...