(课件网) 24.1 圆的有关性质 第二十四章 圆 24.1.3 弧、弦、圆心角 熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？ 情境引入 A B O 圆心角的定义 · O B A 观察在⊙O 中，这些角有什么共同特点？ 顶点在圆心上 定义：顶点在圆心的角，叫圆心角，如∠AOB . 判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由. 不是 不是 不是 是 练一练 任意给圆心角，对应出现三个量： 圆心角 弧 弦 想一想：圆心角、弧、弦之间有什么关系？ O A B 圆心角 ∠AOB 所对的弦为 AB. 圆心角 ∠AOB 所对的弧为 . 观察：1. 将圆绕圆心旋转 180° 后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？ 圆心角、弧、弦之间的关系 合作探究 重合， 圆是中心对称图形 . O A B 180° 2. 把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？仍与原来的圆重合吗？ O α 重合.圆是旋转对称图形，具有旋转不变性 · 问题1 在⊙O 中，如果圆心角∠AOB =∠COD，那么 与 ，弦 AB 与弦 CD 有怎样的数量关系？ 在同圆中探究 C · O A B D 因为将圆绕圆心旋转任一角度都能 与自身重合，所以可将 ⊙O 绕圆心 旋转，使点 A 与点 C 重合. 由于∠AOB =∠COD， 因此，点 B 与点 D 重合. 从而 ，AB = CD. 问题2 如图，在等圆中，如果圆心角∠AOB ＝∠CO′D，你发现的等量关系是否依然成立？ 在等圆中探究 O′ · O A B · C D 通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB =∠CO′D，那么 ，弦 AB = 弦 CD. 归纳 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． ①∠AOB = ∠COD ③ AB = CD 要点归纳 弧、弦与圆心角的关系定理 A B O D C ② 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等． 弧、弦与圆心角关系定理的推论 类比探究可得 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等． 关系结构图 温馨提示：一条弦对应两条弧，由弦相等得到弧相等时需要区分优弧和劣弧. 在同圆或等圆中 想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？ 不可以，如图. A B O D C (3) 圆心角相等，所对的弦相等. （ ） (2) 等弧所对的弦相等. （ ） (1) 等弦所对的弧相等. （ ） × × √ 判断正误： 辨一辨 圆心角、弧、弦关系定理及推论的运用 典例精析 解： ∵ · A O B C D E 例1 如图，AB 是⊙O 的直径， ∠COD = 35°，求∠AOE 的度数． ∴∠BOC =∠COD =∠DOE = 35°. ∴∠AOE = 180° - 3×35° = 75°. ∴ AB = AC，△ABC 是等腰三角形. 又∵∠ACB = 60°， ∴△ABC 是等边三角形，AB = BC = CA. ∴∠AOB =∠BOC =∠AOC. A B C O 方法总结：弧、圆心角、弦之间等量关系的灵活转化是解决圆相关问题的重要法宝. 例2 如图，在☉O 中， = ，∠ACB = 60°， 求证：∠AOB =∠BOC =∠AOC. 证明：∵ = ， 例3 如图，已知 AB、CD 是⊙O 的两条弦， . 求证：AB = CD. . C A B D O 证明： 变式1 如图，在⊙O 中，AD = BC．求证：DC = AB． ∴ DC = AB． 证明：∵ AD = BC， 变式2 如上图，在⊙O 中，DC = AB．求证：AD = BC. 证明：∵ DC = AB， ∴ AD = BC. 1. 如果两个圆心角相等，那么 ( ) A．这两个圆心角所对的弦相等 B．这两个圆心角所对的弧相等 C．这两个圆心角所对的弦和弧分别相等 D．以上说法都不对 2. 弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 °. D 60 3. 如图，AB、CD 是⊙O 的两条弦． （1）如果 AB = CD，那么_____，_____ __； （2）如果 ，那么_____， ； （3）如果∠AOB =∠COD， 那么_____，_____； · C A B D O AB = CD AB = CD AB = CD ( ( ∠AOB =∠COD ... ...
