(课件网) 24.1 圆的有关性质 第二十四章 圆 24.1.4 圆周角 视频引入 点击视频开始播放 → C A E D B 思考： 图中过球门 A、E 两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处的位置 B、C、D 有关(张开的角度大小)、仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点的位置射门更有利？ 圆周角的定义 合作探究 问题2 ∠ABE 的顶点和边有哪些特点 ∠ABE 的顶点在☉O 上，角的两边分别交☉O 于 A、E 两点. 顶点在圆心的角叫圆心角，如∠AOE. 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角. （两个条件必须同时具备，缺一不可） 问题1 什么叫圆心角 指出图中的圆心角 · C O A B · C O B · C O B A A · C O A B · C O B · C O B A A 判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角？简述理由. 顶点 A 不在圆上 顶点 A 不在圆上 边 AC 没有和圆相交 是 是 是 测量：如图，连接BO，CO，得圆心角∠BOC.测测看，∠BAC 与∠BOC 存在怎样的数量关系. 圆周角定理及其推论 测量与猜测 猜测：圆周角的度数_____它所对弧的圆心角度数的一半. 等于 圆心 O 在∠BAC 的内部 圆心 O 在 ∠BAC 的一边上 圆心 O 在 ∠BAC 的外部 推导与论证 圆心 O 在∠BAC 的一边上（特殊情形） OA = OC ∠A = ∠C ∠BOC = ∠A + ∠C O A B D O A C D O A B C D 圆心 O 在∠BAC 的内部 O A C D O A B D O A B D O C A D O A B D C O A D C O A B D C O A D O A B D 圆心 O 在∠BAC 的外部 圆周角定理及其推论 要点归纳 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 问题1 如图，OB，OC 都是⊙O 的半径，点 A ，D 是圆上任意两点，连接 AB，AC，BD，CD. ∠BAC 与∠BDC 相等吗？请说明理由. D ∴∠BAC=∠BDC. 解：相等. 理由如下： ∵ 互动探究 问题2 如图，若 ∠A 与∠B 相等吗？ 解：相等. 想一想：反过来，如果∠A =∠B，那么 成立吗？ D A B O C E F 圆周角定理的推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等. 知识要点 A1 A2 A3 解：∵ AB 是直径，点 O 是圆心， ∴∠AOB = 180°. ∵∠ACB 是直径 AB 所对的圆周角， ∴∠ACB = ∠AOB = 90°. 想一想 如图，线段 AB 是☉O 的直径，点 C 是☉O 上的任意一点 (除点 A、B 外)，那么∠ACB 就是直径 AB 所对的圆周角. 想一想，∠ACB 会是怎样的角？ · O A C B 能不能直接运用圆周角定理解答？ 半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90° 的圆周角所对的弦是直径. 知识要点 圆周角定理的推论2 例1 如图，分别求出图中∠x 的大小. 60° x 30° 20° x 解：(1)∵ 同弧所对圆周角相等，∴∠x = 60°. A D B E C (2) 连接 BF. F ∵ 同弧所对圆周角相等， ∴∠ABF =∠D = 20°，∠FBC =∠E = 30°. ∴∠x = ∠ABF +∠FBC = 50°. 例2 如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P， ∠ACD = 60°，∠ADC = 70°. 求∠APC 的度数. O A D C P B 解：连接 BC，如图，则∠ACB = 90°， ∠DCB =∠ACB－∠ACD = 90°－60° = 30°. ∴∠BAD =∠DCB = 30°. ∴∠APC =∠BAD +∠ADC = 30° + 70°= 100°. 例3 如图，⊙O 的直径 AB 为 10 cm，弦 AC 为 6 cm. ∠ACB 的平分线交⊙O 于点 D，求 BC，AD，BD 的长. 解：如图，连接 OD. 在 Rt△ABC 中， D C B A O ∴∠ACB =∠ADB = 90°. ∵ AB 是直径， ∵ CD 平分∠ACB， 解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则应考虑构造直角三角形来求解. 归纳 ∴ AD = BD. ∴∠AOD =∠BOD. ∴∠ACD =∠BCD. 在 Rt△ABD 中，AD2 + BD2 = AB2， D C B A O 如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆. 圆内接四边形 如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形. 探究性质 猜想：∠A 与 ... ...
