21.2.3因式分解法培优训练（含解析）人教版2025—2026年九年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台 21.2.3因式分解法培优训练人教版2025—2026年九年级上册 一、选择题 1．已知菱形的边长为5，其中一条对角线的长恰好是一元二次方程的一个根，则这个菱形的面积是（） A．24 B．48 C．24或 D．48或 2．已知关于的方程与有相同的解，则与之间的等量关系为（ ） A． B． C． D． 3．已知实数m、n满足，则的值为（ ） A． B．3 C．4 D．3或 4．已知一个三角形两边的长是3和5，第三边的长是方程的根，则该三角形的形状为（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．直角三角形或钝角三角形 5．已知关于的方程与的解完全相同，则常数的值为（　　） A． B． C．1 D．4 6．方程解的个数（ ） A． B． C． D． 二、填空题 7．方程的解为 ． 8．已知关于x的一元二次方程的两个根恰好分别是直角的两边长，则的面积为 ． 9．已知，则式子的值为 ． 10．若关于的一元二次方程有一个根为，则关于的一元二次方程必有一个根为 ． 11．定义：若一元二次方程的两个实数根相差1，则称这样的方程为邻根方程．如方程的两根为，，所以是邻根方程．若关于的方程是邻根方程，则 ． 三、解答题 12．解方程： (1)． (2)． 13．请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 14．已知某三角形两条边的长分别是和，第三条边长是方程的一个根． (1)判断该三角形的形状，并说明理由； (2)该三角形的面积为 ． 15．定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为和，分别以，为横、纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的“两根点”． (1)方程的“两根点”的坐标为_____（直接写出）； (2)点是关于的一元二次方程的“两根点”． ①若点在直线上，求的值； ②点为坐标原点，当线段取得最小值时点的坐标为_____（直接写出结果）． 16．阅读与思考． 阅读下面材料，并完成相应的任务． 求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解，各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想———�转化”，即把未知转化为已知来求解．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得原方程的解为，，． 再例如，解根号下含有未知数的方程：，通过两边同时平方转化为，解得：，，且，不是原方程的解，原方程的解为． 请仔细阅读材料，解下列方程： (1)解方程：； (2)解方程：． 参考答案 一、选择题 1．C 【分析】本题考查了解一元二次方程，菱形的性质． 先解方程得到对角线可能的长度，再利用菱形的性质和勾股定理求出另一条对角线的长度，最后计算面积． 【详解】解：方程可分解为， 解得或， ∴菱形的一条对角线可能为6或4， 设菱形边长为5，两条对角线分别为和，根据菱形的性质，对角线互相垂直且平分，故有：， 整理得． 当时，代入得，解得（负值舍去），此时面积为； 当时，代入得，解得（负值舍去），此时面积为． ∴菱形的面积可能为24或， 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了解一元二次方程，首先解两个方程，找到它们的解，再根据有相同解的条件建立关于和的关系式． 【详解】解：解方程，得和． 解方程，得． 若是第二个方程的解，则． 若是第二个方程的解，则． ∴或， ∴或即． 故选：D． 3．B 【分析】解题思路是通过换元法，把设为一个新的变量，将原方程转化为关于的一元二次方程，然后求解这个方程，再根据的非负性确定其值．本题主要考查了换元法解一元二次方程以及平方数的非负性，熟练掌握换元法将复杂方程简化，同时牢记平方数的非负性对结果进行取舍是解题的关键． 【详解】解：设（，）， ∵平 ... ...