21.2.4一元二次方程的根与系数的关系培优训练（含解析）人教版2025—2026年九年级上册

中小学教育资源及组卷应用平台 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系培优训练人教版2025—2026年九年级上册 一、选择题 1．已知一元二次方程的一个根为．则另一个根为（　　） A． B． C． D． 2．关于x的一元二次方程的两个根是，则的值为（ ） A．8 B． C． D．2 3．设m，n是方程的两个实数根，则的值为（ ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 4．已知α，β是方程的两个实数根，则式子的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 5．已知，是关于的一元二次方程的两个实数解，若，则的值为（ ） A． B．7 C．或7 D．或7 6．已知方程的三个互不相等的实数根可作为三角形的三边边长，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知为互不相等的实数，且，，则的值为（ ） A． B．0 C． D．2 8．设是方程的两个实根，实数a，b满足：，，则的值为（ ） A．2025 B．2023 C． D． 二、填空题 9．已知分别是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 10．若a，b是方程两个不相等的实数根，则代数式的值为 ． 11．若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值 ． 12．已知，且有，则的值等于 ． 13．若关于x的方程（m为正整数）的两根分别记为，，如：当时，方程的两根记为，，则 ． 三、解答题 14．已知一元二次方程． (1)当时，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． (2)当时，请判别方程根的情况． 15．已知关于的一元二次方程的两个根是和． (1)当时，求的值； (2)设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 16．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 17．已知关于的一元二次方程． (1)判断此方程根的情况，并说明理由． (2)若此方程的两个实数根都是整数，求符合条件的整数的值的和． (3)若此方程的两个实数根分别为，求代数式的值． 18．阅读材料： 材料1：关于x的一元二次方程的两个实数根和系数a，b，c有如下关系：，． 材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求的值． 解：∵m，n是一元二次方程的两个实数根， ∴． 则． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程的两个实数根为，则 ， ； (2)类比：已知一元二次方程的两个实数根为m，n，则的值为 ； (3)提升：已知实数s，t满足，且，则的值 ； (4)拓展：已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数的取值范围是 ． 19．定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③． (2)已知方程是“邻根方程”，求m的值． (3)若方程是“邻根方程”，求证：． 参考答案 一、选择题 1．B 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系,如果一元二次方程的两根为，，则+．由题意得，，而，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，，而， ∴， 故选：B． 2．A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据根与系数的关系得到，，即可求出的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个根是， ∴，， ∴， 故选：A． 3．B 【分析】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出和是解答本题的关键． 根据m，n是方程的两个实数根，可得，即，根据一元二次方程根与系数的关系可知，将变形为，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 4．C 【分析】本题主要考查了方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系．难度中等．关键是利用方程根的定义及完全平方公式将所 ... ...