24.1.2 垂直于弦的直径 教案(表格式)2025-2026学年度人教版数学九年级上册

九年级上册教案 24.1 圆的有关性质 24.1.2 垂直于弦的直径 教学内容 24.1.2 垂直于弦的直径 课时 1 核心素养目标 1.掌握垂径定理，理解其探索和证明过程; 2.能初步运用垂径定理解决有关的计算和证明问题。 3.在研究过程中，进一步体验“实验一归纳一猜想一证明”的方法；在解题过程中，注重发散思维的培养，同一个问题会从不同的角度去分析解决. 知识目标 1．进一步认识圆是轴对称图形． 2．能利用圆的轴对称性，通过探索、归纳、验证得出垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题． 3．认识垂径定理及推论在实际中的应用，会用添加辅助线的方法解决问题． 教学重点 掌握垂径定理及其推论，熟练运用垂径定理及其推论解决一些有关证明、计算的问题. 教学难点 垂径定理的证明及应用. 教学准备 课件 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、情境导入 二、探究新知 当堂练习，巩固所学 一、创设情境，导入新知 地震造成小区的圆柱形供水管道损坏，现在工人师傅要为我们换管道，如图，他测量出管道有积水部分的最大深度是 2 cm，水面的宽度为 8 cm，这个工人师傅想了又想，也不知道该用多大的水管来替换，你能帮他解决这个问题吗 师生活动：同学们先讨论，然后带着疑问点开启今天课堂内容. 二、小组合作，探究概念和性质 知识点一：垂径定理及其推论 探究一：折一折 同学们，拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，会发现了什么呢？ 圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线，圆的对称轴有无穷多条. 师提问： 实际问题：如何证明圆是轴对称图形？ 几何问题：圆上任意一点关于直径所在直线 (对称轴) 的对称点也在圆上. 同学们在自己作的圆中按照如下步骤作图，并写出已知和证明： ① 任意作出一条直径 CD； ② 在⊙O 上任意选点 C，D 以外的点 A. ③ 过点 A 作 AA'⊥CD，交⊙O 于点 A'，垂足为 M，连接 OA，OA'. 合作证明 已知：如图，CD 是⊙O 上的直径，CD⊥AA′； 求证：CD 是 AA′ 的垂直平分线. 证明：在△OAA′ 中， ∵ OA = OA′， ∴△OAA′ 是等腰三角形. 又 AA′⊥CD， ∴ AM = MA′， 即 CD 是 AA′ 的垂直平分线. 师生共同总结： 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. 探究二：如图，AA′ 是⊙O 的一条弦，直径 CD⊥AA′， 垂足为 M. 你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧 为什么 定义总结 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 教师强调：两条弧：分别是劣弧、优弧 师提问：你能用几何语言表示吗？ 推导格式： 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ （1） （2） （3） （4） 答案：（1）是（2）不是，因为没有垂直. （3）是 （4）不是，因为 AB，CD 都不是直径. 典例精析 例1 如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为 10 cm，OE = 6 cm，则 AB = cm. 师生活动：教学时，给几分钟时间先让学生尝试着解决问题，在学生出现思维盲区时，教师给予详细分析，边讲边演示，在思维的激烈碰撞过程中，逐渐形成对垂径定理的认识. 思考探索 师提问：上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 证明猜想 证明举例 如图，AA′ 是⊙O 的一条弦，直径 CD 平分弦 AA′ 于点 M. （1）CD⊥AA′ 吗？为什么？ 师生活动：让学生模仿圆的轴对称性质的证明过程，学生先独立思考，然后让学生分组讨论交流，并表述定理的内容———平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 教师展示解题过程 解：(1) 连接 AO、A′O，则 AO = A′O. 又∵ AM = A′M， ∴△AOM≌△A′OM(SSS). ∴∠AMO =∠A′MO = 90°. ∴ CD⊥AA′. (2) 由垂径定理可得 归纳总结 垂径定理的推论 平分弦(不是 ... ...