1.3 课时2 利用完全平方公式进行因式分解 课件（共18张PPT）2025-2026学年数学湘教版（2024）八年级上册

1.3 公式法 课时2 利用完全平方公式进行因式分解 第1章 因式分解 1. 掌握完全平方公式的结构特征，并能灵活运用完全平方公式把多项式分解因式. 2. 能综合运用不同的方法分解因式，培养观察、比较以及运算能力. 1. 我们已学习过什么因式分解的方法？ 提公因式法 平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b) 2. 回顾完全平方公式： (????+????)2= (?????????)2 = ? ????2+2????????+????2 ? ????2?2????????+????2 ? 知识点一：用完全平方公式因式分解的多项式 上述公式中的 x，y，可以分别用任何数或任意多项式代入. 你能将x2＋4x＋4进行因式分解吗？ 完全平方公式 (x＋y)2＝x2＋2xy＋y2； (x－y)2＝x2－2xy＋y2. 解：在完全平方公式中，将y用2代入得到等式： ????+22=????2+4????+4. ? 把这个等式从右到左使用，就可以把多项式????2+4????+4因式分解： ????2+4????+4=????+22. ? 两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. 完全平方公式分解因式: 整式乘法 (x±y)2=x2±2xy＋y2 因式分解 注意：公式中的x和y分别可以用数、单项式或多项式代入 例5 把多项式9x2 - 6x + 1因式分解. 分析：9x2 - 6x + 1符合完全平方公式右边的形式，于是把这个公式从右到左使用，就可把 9x2 - 6x +1因式分解. (3????)2 ? 12 2·3????·1 ? 解： 9x2－6x＋1= (3x)2－2 · 3x · 1 + 12 = (3x－1)2. 议一议 与同学交流，具有什么特征的多项式可以运用完全平方公式分解因式？ 可以用完全平方公式分解因式的多项式的特征： 1.必须是三项式(或可以看成三项的)； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间有两底数之积的±2倍. 口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央. 2 a b +b2 ± =(a ± b)? a2 首2 +尾2 ±2×首×尾 (首±尾)2 例6 把下列多项式因式分解： (1) －4x2＋12xy－9y2； (2) x5＋2x3y＋xy2. 知识点二：运用完全平方公式因式分解 这个多项式中的首项的系数是负数，怎么办？ 提取负号时，要注意此时放进括号内各项都要改变符号. 解：(1) －4x2＋12xy－9y2 ＝－(4x?－12xy＋9y?) ＝－[(2x)?－2·2x·3y＋(3y)?] ＝－(2x－3y)?. 例6 把下列多项式因式分解： (1) －4x2＋12xy－9y2； (2) x5＋2x3y＋xy2. 有公因式 x，应先提出公因式，再进一步因式分解 解：(2) x5＋2x3y＋xy2 ＝x(x4＋2x?y＋y?) ＝x[(x?)?＋2·x?·y＋y?] ＝x(x?＋y)?. 例7 把多项式x4 - 2x2 + 1因式分解. 具有平方差公式的特点 解： x4－2x2＋1 ＝(x?)?－2·x?·1＋1? ＝(x?－1)? ＝[(x＋1)(x－1)]? ＝(x＋1)?(x－1)?. 注意：因式分解中必须进行到每个因式都不能分解为止. 做一做 可以利用完全平方公式把多项式(????+????)2?4(????+????)+4因式分解吗？试一试. ? 一个整体 整体思想 解：(????+????)2?4(????+????)+4=(????+????)2?2·(????+????)·2+22 ? =(????+?????2)2 ? 因式分解的步骤： 一提：先考虑用提公因式法(公因式可以是单项式或多项式)； 二套：然后考虑用公式法(平方差公式或完全平方公式)，能连续用公式分解的要继续分解； 三查：检查每个因式是否被分解彻底． 分解因式： (1) - 3a2x2 + 24a2x - 48a2； (2) ( a2 + 4 )2 - 16a2. ＝( a2 + 4 + 4a )( a2 + 4 - 4a ) 解：(1) 原式＝ - 3a2( x2 - 8x + 16 ) ＝ - 3a2( x - 4 )2. (2) 原式＝( a2 + 4 )2 - ( 4a )2 ＝( a + 2 )2( a - 2 )2. 完全平方公式分解因式: 1.两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方. ?????+2????????+??????(????+????)? ??????2????????+??????(?????????)? ? 2.结构特征：(1)必须是三项式(或可以看成三项的)； (2)有两个同号的数或式的平方； (3)中间有两底数之积的±2倍. 注意：每个因式要分解到不能继续分解为止. 1. 下列四个多项 ... ...