21.4 第1课时 建立二次函数模型解决实际问题 素养目标 1.建立二次函数模型,解决几何图形面积的最值问题. 2.会用二次函数解决拱桥、隧道等抛物线形物体的相关问题. 3.体会数学建模的思想,感受数学的应用价值. ◎重点:建立二次函数模型. 【预习导学】 知识点一：图形面积问题 阅读课本本课时“例1”,回答下列问题. 1.设水面的一边长为x,则另一边长为 ,面积可表示为S= . 2.说一说:开口向下的二次函数,有最 值,即顶点坐标的 坐标. 归纳总结 解二次函数最值问题的一般步骤: (1)设未知数,列出二次函数的表达式,并根据自变量的实际意义,确定自变量的取值范围; (2)在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值. 知识点二：抛物线形物体的相关问题 阅读课本本课时“例2”,回答下列问题. (1)在“例2”中,以桥面所在的直线为x轴有什么好处 以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系有什么好处 (2)建立坐标系的过程运用了什么数学思想 归纳总结 用函数的思想方法解决抛物线形拱桥问题:①先建立恰当的 ;②根据已知条件,对应二次函数上的点,求出函数 ;③根据已知条件找到抛物线上某些特殊位置的 坐标,利用二次函数知识解决问题. 1.用总长为60 m的篱笆围成矩形场地,设矩形的长为x m,则该矩形的宽为 m.若用S表示该矩形场地的面积,则S关于x的函数表达式为 ,将该函数表达式配方成顶点式,得 .因为抛物线S的开口向下,故当x= 时,函数S的最大值为 . 2.一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形,建立如图所示的平面直角坐标系,其函数关系式为y=-x2,当水面离桥拱顶的高度OC是4 m时,水面的宽度AB为 . 【合作探究】 任务驱动一 1.如图1,若要建一个长方形鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长18米),墙对面有一个2米宽的门,另三边用竹篱笆围成,篱笆总长33米. 问:(1)若鸡场的面积为150平方米,则鸡场的长和宽各为多少米 (2)鸡场面积可能达到200平方米吗 (3)如图2,若要在鸡场内用竹篱笆加建一道隔栏,则鸡场最大的面积可达多少平方米 任务驱动二 2.如图,有一个抛物线形的拱形立交桥,这个桥拱的最大高度为16 m,跨度为40 m,现把它放在如图所示的平面直角坐标系中,若要在离跨度中心点M的5 m处垂直竖一根铁柱支撑这个拱顶,铁柱应取多长 方法归纳交流 解决这类题的基本思路:(1)理解题意;(2)找出问题中的两个变量,用待定系数法或根据实际意义求出 ;(3)结合函数 或 求解;(4)注意自变量的 ,检验结果的合理性. 1.如图,一边靠墙(墙有足够长),三边用12 m长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园,这个花园的最大面积是 ( ) A.16 m2 B.12 m2 C.18 m2 D.以上都不对 2.如图,这是抛物线形拱桥,当拱顶离水面2 m时,水面宽4 m,若水面下降2 m,则水面宽度增加_____m. 如图,一座悬索桥的桥面OA与主悬钢索MN之间用垂直钢索连接,主悬钢索是抛物线形状,两端到桥面的距离OM与AN相等,小强骑自行车从桥的一端O沿直线匀速穿过桥面到达另一端A,当他行驶18秒时和28秒时所在地方的主悬钢索的高度相同,那么他通过整个桥面OA共需 秒. 参考答案 【预习导学】 知识点一 1.20-x -x2+20x 2.大 纵 知识点二 (1)这样建立x轴,则某点处的纵坐标就是该点悬索的高度;以对称轴为y轴,则二次函数表达式较简单,为y=ax2+k的形式. (2)运用了数学建模的思想,将一个实际问题转化为可以用二次函数解决的问题. 归纳总结 ①平面直角坐标系 ②表达式 ③横 对点自测 1.(30-x) S=x(30-x)(0
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