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课件网) 15.2 线段的垂直平分线 轴对称图形与等腰三角形 第15章 学习目标 1.掌握使用尺规作图法作线段的垂直平分线的步骤和技巧，理解作图的原理，确保作图的准确性和规范性； 2.经历观察，猜想，论证，归纳等过程探究线段垂直平分线的性质，体会转化、归纳等数学思想，发展学生的推理能力； 3.理解并掌握线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理，尝试解决简单的实际问题； 4.通过生活中的实例引入线段垂直平分线，激发学生的学习兴趣和好奇心，感受到数学与生活的紧密联系. 新知导入 市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处才能使得它到三个小区的距离相等？ 问题：怎样作出线段的垂直平分线？ 任务一：线段垂直平分线 新知讲解 通过折纸可以作出线段的垂直平分线． 在半透明纸上画一条线段 AA′，折纸，使A与A′重合，得到的折痕l是线段AA′的垂直平分线. 也可以用刻度尺量出线段的中点，再用三角尺过中点画垂线的方法作出线段的垂直平分线. 新知讲解 下面介绍用尺规作图，作出线段AB的垂直平分线． 新知讲解 A B E F 作法： (1)分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于E，F两点. (2)过点E，F作直线. 则直线EF就是线段AB的垂直平分线. 为什么？ O 目的是使两弧有交点. 思考：为什么这样作出的直线 EF，就是线段AB的垂直平分线呢？ 设所作直线EF交AB于点O，你能给出证明吗？ 新知讲解 A B E F O 证明：连接AE、BE、AF、BF， ∵AE=BE，AF=BF， ∴E、F都在AB的垂直平分线上， ∴EF垂直平分AB， ∴EF⊥AB， ∴EF是线段AB的垂直平分线. 新知讲解 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 线段的垂直平分线性质： 应用格式： ∵AC=BC，PC⊥AB， P是l上任意一点， ∴PA=PB． P A B l C 任务二：线段垂直平分线的性质定理及逆定理 已知：如图 ，直线MN经过线段AB的中点O，且MN⊥AB，P是MN上任意一点． 求证：PA＝PB． 新知讲解 证明：∵MN⊥AB，(已知) ∴∠AOP＝∠BOP＝90°.(垂直定义） 在△AOP与△BOP中， 如果点P与点O重合，那么直接可得PA＝PB． ∴△AOP≌△BOP.(SAS) ∴PA＝PB．(全等三角形的对应边相等) ∵ 思考：你能写出上面定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是真命题，请给出证明． 新知讲解 逆命题：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 它是真命题，证明如下： 已知：如图，PA=PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上． 新知讲解 证明：过点P作AB的垂线PC，垂足为点C． 则∠PCA=∠PCB=90°． 在Rt△PCA和Rt△PCB中，PA=PB，PC=PC， ∴Rt△PCA≌Rt△PCB.(HL) ∴AC=BC． 又PC⊥AB， ∴点P在线段AB的垂直平分线上． P A B C 新知讲解 定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 线段的垂直平分线性质的判定： 应用格式： ∵PA=PB， ∴点P在AB的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 例.已知：如图，△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P． 求证：点 P在BC的垂直平分线上． 新知讲解 证明：连接 PA，PB，PC． ∵点P在AB，AC的垂直平分线上，(已知) ∴PA＝PB，PA＝PC． (线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等) ∴PB＝PC.(等量代换) ∴点P在BC的垂直平分线上． (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上) 新知讲解 例题说明：三角形三边的垂直平分线相交于一点， 这点到三角形三个顶点的距离相等. 新知讲解 判断线段垂直平分线的两种方法： 一是定义法；二是判定定理 . 一般习惯用定义法进行判断，而利用判定定理判断更简单 . 用判定定理判定一条直线是线段的垂直平分线时，一定要证明直线上有两点到线段两个端点的距离相 ... ...
