不等式整章教案

高二数学复习讲义（1） 不等式（1） 一．目的要求： 1．理解不等式的性质及其证明，掌握证明不等式的常用方法； 2．掌握常用基本不等式，并能用之证明不等式和求最值； 3．掌握含绝对值的不等式的性质； 4．会解一元二次不等式、分式不等式、含绝对值的不等式、简单的高次不等式。学会运用数形结合、分类讨论、等价转换的思想方法分析和解决有关不等式的问题，形成良好的思维品质。 二．知识要点： 1．不等式的性质： 性 质 内 容 对称性 ，． 传递性 且． 加法性质 ；且． 乘法性质 ；，且． 乘方、开方性质 ；． 倒数性质 ． 2．绝对值不等式的性质： ；． 3．常用基本不等式： 条 件 结 论 等号成立的条件 ，， 三．证明不等式的常用方法：比较法，综合法，分析法，换元法，反证法等。 四．运用基本不等式求最值的注意点： ①常用的不等式：，，． ②注意点：和定积最大，积定和最小；一正、二定、三相等。 五．常见不等式及其基本解法： 1．一元二次不等式： （1）利用其与一元二次方程，二次函数的关系； （2）含字母系数的一元二次不等式大致分为两类： ①的符号不确定，讨论的大小； ②通过因式分解（或求根公式）得出两根，但根的大小不明确，则讨论根的大小。 （3）一元二次不等式的应用： ①已知一个不等式的解集，求另一个不等式的解集； ②恒成立问题：通常可结合二次函数图象来考虑。 2.分式不等式：移项，通分，再转化为不等式组或序轴标根； 3.含有绝对值的不等式：用绝对值的定义去掉绝对值符号。 4.高次不等式：序轴标根法； 5.指数、对数不等式：利用指数函数、对数函数的单调性进行等价转化。 六．例题分析： 例1．已知，，，求证：． 证明：∵，∴，又， ∴，∴，又，∴． 例2．已知都是实数，求证：，并指出何时成立。 比较法或综合法，成立的条件是． 例3．已知，，求证：． 证明：∵，∴，又，∴，∴， 要证，只要证， 只要证，即， 只要证，∵，∴只要证，即， ∵成立，∴． 例4.在中，为三条边的长，表示的面积， 求证：，并说明“”成立的条件。 证明：由余弦定理，有，又， ∴ ， ∵， ∴，∴， 当且仅当，即，也就是是等边三角形时，“”成立。 七．课后作业： 班级 学号 姓名 1．已知，则下列不等式一定成立的是 （ ） 2.下列命题中成立的是 （ ） ，当且仅当时成立； ，当且仅当时成立； ，当且仅当时成立； ，当且仅当时成立。 3．若，且，则下列结论中成立的是 （ ） 异号，； 异号，； 同号，； 同号，． 4． 已知两实数的算术平均数为，实数，， ，则与的大小关系为 ． 5．函数的最大值为 ，此时的值为 ． 6．已知，求证． 7．在中，三条边的长成等差数列，求角的取值范围。 8．已知都是实数，求证：． 9．若，求证：． 10．已知实数满足不等式，求证：．一．课题：不等式证明（3）———分析法 二．教学目标： 1．熟悉分析法证明不等式的一般方法，能用分析法证明一些较简单的不等式；； 2．掌握分析法证明不等式的书写规范。 三．教学重点、难点：如何从结论分析出使结论成立的充分条件； 四．教学过程： （一）复习：比较法，综合法证明不等式的一般方法。 （二）新课讲解： 证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。 例1．求证：． 证：（分析法）∵， 综合法： 只需证明：， ∵， 展开得： ， ∴， 即： ， ∴， ∴， ∴， 即：， ∴， ∵．成立 ∴． ∴． 说明：（1）“分析法”是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不 等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果 ... ...