(课件网) 第15章 轴对称图形与 等腰三角形 15.2 线段的垂直平分线 第1课时 线段垂直平分线 的性质与判定 1.理解和掌握线段垂直平分线的性质；（难点） 2.通过观察、实验、猜测、验证与交流等活动，初步形成数学学习的方法.（难点） 学习目标 思考：上节课我们学习了点关于直线成轴对称的知识，那从图形的角度看，线段是不是轴对称图形呢？ 如果是，它的对称轴会是什么样的线呢？ 答：如果两个点所连线段被某条直线垂直平分，那么这两个点关于这条直线成轴对称. 这说明线段是轴对称图形，这条线段的垂直平分线是它的对称轴. A B l P1 P2 P3 如图，直线l垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，请你量一量线段 P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B 的长，你能发现什么， 请猜想点P1，P2，P3，… 到点 A 与 点 B 的距离之间的数量关系． P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 探究发现 线段垂直平分线的性质 1 猜想： 点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离分别相等． 猜测：线段垂直平分线上的点和线段两端的距离相等. 由此你能得到什么结论？ 你能验证这一结论吗？ 已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = BC，点 P 在 l 上． 求证：PA = PB． 证明：∵ l⊥AB， ∴∠PCA =∠PCB． 又 AC = BC，PC = PC， ∴ △PCA≌△PCB (SAS)． ∴ PA = PB． P A B l C 验证结论： 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离_____. 相等 几何表达： 如果 l⊥AB，AC = BC， 那么对 l 上任意一点 P， 有 PA = PB. 知识要点 P A B l C 例1 如图，在△ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若 △DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 ( ) A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．17.5 cm A B C D E 典例精析 解析：∵ △DBC 的周长为 BC＋BD＋CD ＝ 35 cm，又 DE 垂直平分 AB， ∴ AD＝BD，故 BC＋AD＋CD＝35 cm. ∵ AC＝AD＋CD＝20 cm， ∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故选 C. 方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长． A B C D E 练一练：1. 如图①所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 B P A B C D 图① 2.如图②所示，在△ABC 中，BC = 8 cm，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18 cm，则 AC 的长是 . 10 cm A B C D E 图② 例2 如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 的中点，连接 AE、BE，BE⊥AE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F. 求证：(1) AD＝FC；(2) AB＝BC＋AD. 解析：(1) 根据 AD∥BC 可知∠ADE＝∠FCE，再根据 E 是 CD 的中点可得出△ADE≌△FCE，根据全等三角形的性质证得结论；(2) 先根据线段垂直平分线的性质得出 AB＝BF，再结合 (1) 即可得证． A B C D E F 证明：(1) ∵ AD∥BC，∴∠ADE＝∠FCE. ∵ E 是 CD 的中点，∴ DE＝CE. 又∵∠AED＝∠FEC， ∴△ADE≌△FCE. ∴ FC＝AD. (2) ∵△ADE≌△FCE， ∴ AE＝FE. 又∵ BE⊥AE，∴ BE 是线段 AF 的垂直平分线. ∴ AB＝FB＝BC＋FC. ∵ AD＝FC，∴ AB＝BC＋AD. A B C D E F 定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 逆 命 题 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 它是真命题吗？你能证明吗？ 线段垂直平分线的判定 2 已知：PA = PB， 求证：点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. 证明：作 PC⊥AB，垂足为 C. ∴ ∠ACP =∠BCP = 90°. 在Rt△ACP 和 Rt△BCP 中， ∴ Rt△ACP≌Rt△BCP（HL）. ∴ AC = BC. ∴ 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. PA = PB， PC = PC， l C A B P 到线段两端距 ... ...
