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课件网) 第 15 章 轴对称图形与 等腰三角形 15.3 角的平分线 第 2 课时 角平分线的性质及判定 1.会叙述角平分线的性质及判定;（重点） 2.能利用三角形全等，证明角平分线的性质定理，理解和掌握角平分线性质定理和它的逆定理，能应用这两个性质解决一些简单的实际问题;（难点） 3.经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力． 学习目标 如图，要在 S 区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处 500 米，这个集贸市场应建在何处？（比例尺为 1︰20000） D C S 解：作夹角的角平分线 OC， 截取 OD = 2.5 cm，D 即为所求. O 角平分线的性质 思考 如图, OE 是 ∠AOB 的平分线，P 是 OE 上的任一点，过点 P 分别作 PC⊥OA，PD⊥OB，点 C，D 是垂足. PC、PD 的长有什么关系吗？证明你的猜想. A O B P C D E 1 证明 ∵ OP平分∠AOB，（已知) ∴ ∠COP=∠DOP.（角平分线的定义) 又∵ PC⊥OA，PD⊥ OB ，(已知) ∴∠PCO =∠PDO = 90°.（垂直的定义) 如图, OE 平分∠AOB，P 是 OE 上的任一点，PC ⊥ OA 于点 C，PD⊥OB于点 D .求证：PC = PD. A O B P C D E ∵在 △ PCO 和 △ PDO中， ∠COP =∠DOP ， ( 已证 ) ∠PCO =∠PDO，( 已证 ) OP = OP， (公共边) ∴△PCO≌△PDO. (AAS) ∴ PC = PD 定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 应用所具备的条件： (1) 点在角的平分线上； (2) 到角两边的距离(垂直). 定理的作用： 证明线段相等. B A D O P E C 应用格式： ∵ OP 是∠AOB 的平分线， ∴ PD = PE. PD⊥OA，PE⊥OB， 推理的条件有三个，必须写完全，不能少. 要点归纳 判一判：(1) 如下左图，因为 AD 平分∠BAC (已知)， 所以 BD ＝ CD . ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 × B A D C (2) 如上右图，因为 DC⊥AC，DB⊥AB (已知)， 所以 BD ＝CD. ( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 × B A D C 例1 已知：如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，且 BD = CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为 E，F. 求证：EB = FC. A B C D E F 证明：∵AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB， DF⊥AC， ∴ DE = DF，∠DEB =∠DFC = 90°. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF 中， DE = DF， BD = CD， ∴ Rt△BDE≌Rt△CDF (HL). ∴ EB = FC. 典例精析 变式：如图，在直角△ABC 中，∠C ＝ 90°，AP 平分∠BAC 交 BC 于点 P，若 PC ＝ 4， AB ＝ 14. (1) 则点 P 到 AB 的距离为_____； (2) 求 △APB 的面积. A B C P D 4 温馨提示：存在一条垂线段 ——— 构造应用 故 AB · PD = 28. 解：由角平分线的性质知 PD = PC = 4， 1. 应用角平分线的性质： 存在角平分线 涉及距离问题 2. 联系角平分线的性质： 面积 周长 条件 角平分线的性质 方法归纳 思考：写出上面角平分线性质定理的逆命题. 这个逆命题是真命题吗？如果是真命题请写出已知、求证，并给出证明. 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 角平分线上的点到角两边的距离相等 逆 命 题 思考：这个结论正确吗？ 角平分线的判定 2 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是 D、E，PD = PE.求证：点 P 在∠AOB 的角平分线上. 证明： 作射线 OP， ∴ 点 P 在∠AOB 角的平分线上. 在 Rt△PDO 和 Rt△PEO 中， (全等三角形的对应角相等). OP = OP (公共边)， PD = PE (已知)， B A D O P E ∵ PD⊥OA，PE⊥OB. ∴∠PDO =∠PEO = 90°. ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO ( HL). ∴ ∠DOP =∠EOP 角平分线判定定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 应用格式： ∵ PD ... ...
