3.1.3函数的奇偶性 学案（含答案）-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第一册

3.1.3函数的奇偶性 学习目标 1．理解奇函数、偶函数的定义． 2．了解奇函数、偶函数图像的特征． 3．掌握判断函数奇偶性的方法． 二、重难点 重点：函数奇、偶的判断方法，会判断函数奇、偶性 难点：分段函数奇、偶性判断，函数奇、偶性运用 三、知识梳理 1.偶函数的定义： 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且_____，则称y＝f(x)为偶函数． 2.偶函数的图象特征： 偶函数的图像关于_____对称；反之，图象关于y轴对称的函数一定是_____函数. 3.奇函数的定义 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且_____，则称y＝f(x)为奇函数． 4.奇函数的图象特征： 奇函数的图像关于_____对称；反之，图象关于原点对称的函数一定是_____函数． 5.奇(偶)函数的定义域特征及奇(偶)函数的性质 （1）奇(偶)函数的定义域关于_____对称. （2）偶函数的实质是函数f(x)图像上任一点(x，f(x))关于y轴的对称点_____也在f(x)图象上. （3）奇函数的实质是函数f(x)图像上任一点(x，f(x))关于原点的对称点_____也f(x)的图象上. （4）若函数f(x)是奇函数，且在x=0处有定义，则必有f(0)=0，即函数图象必过原点. 四、应用举例 例1：判断下列函数的奇偶性： （1）f（x）＝x3＋x； （2）f（x）＝＋； （3）f（x）＝； （4）f（x）＝ 解：（1）函数的定义域为R，关于原点对称． 又f（－x）＝（－x）3＋（－x）＝－（x3＋x）＝－f（x）， 因此函数f（x）是奇函数． （2）由得x2＝1，即x＝±1． 因此函数的定义域为{－1，1}，关于原点对称． 又f（1）＝f（－1）＝－f（－1）＝0，所以f（x）既是奇函数又是偶函数． （3）函数f（x）的定义域是（－∞，－1）∪（－1，＋∞）， 不关于原点对称，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数． （4）函数f（x）的定义域为R，关于原点对称． f（－x）＝ 即f（－x）＝ 于是有f（－x）＝－f（x）．所以f（x）为奇函数． 例2：已知奇函数f（x）的定义域为[－5，5]，且在区间[0，5]上的图像如图所示． （1）画出在区间[－5，0]上的图像； （2）写出使f（x）<0的x的取值集合． 解：（1）因为函数f（x）是奇函数，所以y＝f（x）在[－5，5]上的图像关于原点对称． 由y＝f（x）在[0，5]上的图像，可知它在[－5，0]上的图像，如图所示． （2）由图像知，使函数值y<0的x的取值集合为（－2，0）∪（2，5）． 五、课堂训练 1.判断下列命题的真假： （1）如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数为奇函数； （2）如果一个函数为奇函数，则它的定义域关于坐标原点对称； （3）如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数. 2.判断下列函数是否具有奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4），. 3.已知函数满足，分别在下列各条件下比较与的大小. （1）是偶函数； （2）是奇函数. 4.如果定义域为R的函数满足，函数可能是奇函数吗？可能是偶函数吗？说明理由. 5.求证：二次函数的图象关于对称. 6.已知函数，且，求的值. 7.已知函数的定义域关于原点对称，判断下列函数的奇偶性： （1）；（2）；（3）. 8.如果函数和的定义域相同，且为偶函数，为奇函数，判断下列函数的奇偶性，并说明理由： （1）； （2）. 9.已知函数的定义域为R，且函数图象关于对称，在区间上是增函数，判断在上的单调性. 10.是否存在函数，其既是奇函数，又是偶函数？如果不存在，说明理由；如果存在，举出实例. 11.研究函数的性质，并作出函数图象. 六、课后练习 1.已知奇函数的定义域为R，且，则( ) A．0 B．1 C．2 D．-1 2.已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则当时，的解析式是( ) A. B. C. D. 3.已知函数为奇函数，且，则( ) A.2 B.-5 C.1 D.3 4.设奇函数的定义域为，当时， ... ...