16.3.1 平方差公式 课件(共19张PPT) 2025-2026学年人教八年级数学册

(课件网) 第十六章 整式的乘法 八上数学 RJ 16.3.1 平方差公式 1.理解平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2，了解公式的几何背景，体会从一般到特殊和数形结合的思想. 2.能利用公式进行简单的计算和推理，发展运算能力和推理能力. 学校打算在操场边新建一块长方形的绿化带，原来计划的长是 15 米，宽是 10 米. 后来因为场地调整，长增加了 2 米，宽减少了 2 米，调整后的绿化带面积和原来相比，是变大了、变小了，还是没变呢？ 15m 10m 2m 2m 原来的面积是 15×10=150（米2）， 调整后的长是 17 米，宽是 8 米， 面积是 17×8=136 （米2）. 显然，面积变小了. 我们再换一组数据试试？如果原来的长是 20 米，宽是 15 米，长增加 3 米，宽减少 3 米，面积又会怎么变呢？ 20m 15m 3m 3m 原来的面积是 20×15=300 （米2）， 调整后的面积是 23×12=276 （米2）， 面积还是变小了. 这里面是不是存在着某种规律呢？ 探究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1）(x+1)(x-1)=_____； （2）(m+2)(m-2)=_____； （3）(2m+1)(2m-1)=_____； x2-12 m2-22 (2m)2-12 问题1 等式的左边有什么特点？两个多项式是什么运算？ 是两个二项式相乘， 这两个二项式中有一项完全相同(通常变形后放在第一项)， 另一项互为相反数(通常变形后放在第二项). 探究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1）(x+1)(x-1)=_____； （2）(m+2)(m-2)=_____； （3）(2m+1)(2m-1)=_____. x2-12 m2-22 (2m)2-12 问题2 等式的右边有什么特点？ 乘式中两项的平方差， 即相同项的平方减去相反项的平方. 探究 上述规律如何用字母来表示呢？ (a+b)(a-b) =a -ab+ab-b2 =a -b2. 所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以直接写出运算结果，即 (a+b) (a-b)=a2-b2. 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 这个公式叫作（乘法的）平方差公式. 平方差公式是多项式乘法(a+b)(p+q)中 p=a，q=-b的特殊情形. 思考 你能根据图中图形的面积，说明平方差公式吗？ a a a2-b2 =(a+b)(a-b) b b a-b a b (a-b) (a+b)=a2-b2. 例1 计算： （1）(3x+2)(3x-2)； （2）(-x+2y)(-x-2y).　 解：（1）(3x+2)(3x-2) =(3x)2-22 =9x2-4. （2）(-x+2y)(-x-2y) =(-x)2-(2y)2 =x2-4y2. 例2 计算： （1）(x-1)(x+1)(x2+1)； （2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)； 解：（1）(x-1)(x+1)(x2+1) =(x-1)(x+1)(x2+1) =(x2-1)(x2+1) =x4-1. （2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) =y2-22-(y2+4y-5) =y2-4-y2-4y+5 =-4y+1. 例2 计算：（3）102×98. 解：（3）102×98 =(100+2)(100-2) =1002-22 =10000-4 =9996. 1.计算： (1)(3x-5)(3x+5)； (2)(-2a-b)(b-2a)； (3)(-7m+8n)(-8n-7m).　 解：（1）(3x-5)(3x+5) =(3x)2-52 =9x2-25. （2）(-2a-b)(b-2a) =(-2a)2-b2 =4a2-b2. 1.计算： (1)(3x-5)(3x+5)； (2)(-2a-b)(b-2a)； (3)(-7m+8n)(-8n-7m).　 解：（3）(-7m+8n)(-8n-7m) =(-7m)2-(8n)2 =49m2-64n2. 2.下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？ （1）(x+2)(x-2)=x2-2; （ ） （2）(-a-2)(a-2)=a2-4; （ ） （3）(x+2y)(-x-2y)=x2-4y2; （ ） （4）(3a+4b)(3a-4b)=9a2-4b2. （ ） × (x+2)(x-2)=x2-4. × (-a-2)(a-2)=4-a2 . × (x+2y)(-x-2y)=-x2-4xy-4y2. × (3a+4b)(3a-4b)=9a2-16b2 . 3.计算 （1）(a+3b)(a-3b); （2）(3+2a)(3-2a); 解：（1）(a+3b)(a-3b) =(a)2-(3b)2 =a2-9b. （2）(3+2a)(3-2a) =(3)2-(2a)2 =9-4a2. 3.计算 （3）(xy+1)(x2y2+1)(xy-1); （4）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2). （4） (3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) =(3x)2-42-(6x2+5x-6) =9x2-16-6x2-5x+6 =3x2-5x-10. 解：（3） (xy+1)(x2y2+1)(xy-1) =[(xy)2-12](x2y2+1) =(x2 ... ...