【强化训练】北师大九上第二章：专题03 根的判别式、根与系数的关系【八大考点+知识串讲】（原卷版+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 专题03 根的判别式、根与系数的关系 考点类型 知识一遍过 （一）根的判别式 概念：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的判别式为Δ＝b2－4ac ①b2－4ac＞0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等的实数根。 ②b2－4ac＝0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根。 ③b2－4ac＜0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)没有实数根。 ④b2－4ac≥0 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实数根。 （二）根与系数的关系 （1）一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系？ 根据求根公式可知， x1＝，x2＝． 由此可得 x1＋x2＝＋＝＝－， x1x2＝·＝＝． 因此，方程的两个根x1，x2和系数a、b、c有如下关系： x1＋x2＝－，x1x2＝． （2）注意事项： 应用一元二次方程根与系数的关系时，应注意：（1）根的判别式（方程必定有解），（2）二次项系数不为零，才能应用根与系数的关系。 （三）根与系数的关系常见变形 常见与两根有关的代数式变形 ①+=(x1+x2)2-2x1x2; ②+=; ③+=; ④=-4x1x2 考点一遍过 考点1：由△判断根的情况 典例1：定义运算：，例如：方程的根的情况（ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【变式1】下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】一元二次方程的根的判别式的值为 ． 【变式3】一元二次方程2x2﹣x+1＝0的根的情况是 实数根（填“有”或“没有”）． 考点2：由根的情况求字母取值 典例2：已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ） A． B．或 C． D． 【变式1】若关于x的方程有实数根，则a的取值范围是（ ） A． B． C．且 D．且 【变式2】关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ． 解：根据题意得且， 解得且． 【变式3】已知关于的方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 考点3：由△证明根的必然情况 典例3：已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值． 【变式1】已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程一定有两个实数根； (2)如果a为整数且方程的两个根均为整数，求a的值． 【变式2】已知关于的一元二次方程：． (1)求证：这个方程总有两个实数根； (2)若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个实数根，求的周长． 【变式3】已知关于的方程． (1)求证：无论为何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若此方程的一个根是2，请求好的值及方程的另一个根． 考点4：△与三角形的综合 典例5：已知a，b，c为的三边，如果一元二次方程有两个相等的实数根，试判断的形状． 【变式1】已知：关于的方程． (1)求证：无论取任何实数值，方程总有两个实数根． (2)若等腰三角形的底边长为，另两边的长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【变式2】已知关于的方程．若等腰三角形的一边，另两边长，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【变式3】已知关于的方程． (1)若此方程有实数根，求的取值范围； (2)当时，求以此方程的两根的绝对值为边长的等腰三角形的周长． 考点5：由根与系数的关系求代数式 典例5：已知一元二次方程的两根分别为，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式1】若，是方程的两个根，则的值是（　　） A． B．0 C．1 D．2 【变式2】若实数a，b是一元二次方程的两根，则 ． 解：实数a，b是一元二次方程的两根， 【变式3】若关于的一元二次方程的两个根分别比的两个根大10，则 ． 考点6：由根与系数的关系求根 典例6：已知一元二次方程的一个正根和方程的一个正根相等，若的另一个根为4，则的两 ... ...