21.2　二次根式的乘除 同步练（含答案） 2025-2026学年数学华东师大版（2024）九年级上册

21.2　二次根式的乘除 21.2.1，21.2.2　二次根式的乘法与积的算术平方根 1.二次根式的乘法：两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根，·＝　　(a　≥0　，b　≥0　). 2.积的算术平方根：积的算术平方根，等于各因式算术平方根的　积　，即＝　·　(a　≥0　，b　≥0　). 考点1　二次根式法则及积的算术平方根成立的条件 【典例1】若＝·，则(　A　) A.x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x为一切实数 解析：先利用积的算术平方根的法则和二次根式有意义的条件得到x≥0且x－6≥0，再求出两不等式的公共部分即可．根据题意，得x≥0且x－6≥0，即x≥6. 本题考查了积的算术平方根成立的条件： ＝·(a≥0，b≥0). 【变式训练】 1.能使＝·成立的所有整数a的和是　6　． 考点2　二次根式的乘法计算 【典例2】计算：(1)×；(2)×； (3)·；(4)·. 解：(1)原式＝；(2)原式＝＝8； (3)原式＝；(4)原式＝＝2. 二次根式相乘时，先把被开方数相乘，如果积中有能开得尽方的因数（式），一定要开尽方．在计算多个二次根式相乘时，要对被开方数分解因数（式），以便能将开得尽方的因数（式）移到根号外，从而可以使运算简便． 【变式训练】 2.计算：(1)×；(2)×； (3)×；(4)2×. (（1)×＝＝2； (2)×＝＝6； (3)×＝＝10； (4)原式＝2＝2. 考点3　利用积的算术平方根的法则进行化简 【典例3】化简． (1)；(2)； (3)(a＞0，b＞0). 解：(1)＝＝2； (2)＝5|a|； (3)原式＝＝＝(a＋b). 利用积的算术平方根的法则进行化简，被开方数中含有字母的需注意字母的取值范围；若被开方数是多项式的，则先因式分解再化简． 【变式训练】 3.化简． (1)；(2). (1)＝＝×＝10； (2)＝＝＝. 知识点1　二次根式的乘法 1.（海南琼中县校级月考）×＝(　B　) A. B． C．2 D．3 2.若·的值是整数，则n的值可以是(　B　) A．25 B．20 C．15 D．2 3.（河南郑州中原区月考）矩形的长和宽分别是和，则矩形的面积是　3　． 4.计算： (1)×；(2)×； (3)2·；(4)×. (1)原式＝3； (2)原式＝＝＝6； (3)原式＝2＝2； (4)原式＝＝＝2.知识点2　积的算术平方根 5.化简的结果是(　B　) A．－4 B．4 C．±4 D．20 6.（河南南阳宛城区月考）若＝·＝0成立，则a的值为　5　． 7.化简下列各式： (1)＝　77　； (2)＝　4　． 8.化简： (1)；(2)；(3)；(4). (1)＝5；(2)＝3x； (3)＝＝10； (4)＝＝3. 易错易混点　忽略题干隐含的条件导致化简出错 9.把m根号外的因式移入根号内得(　D　) A． B． C．－ D．－ 10.（河南商丘夏邑县期中）下列各数中，与的积仍为无理数的是(　D　) A． B． C． D． 11.（海南三亚校级期中）若x是整数，且·有意义，则·的值是(　C　) A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5 ∵·有意义， ∴解得3≤x≤5. ∵x是整数，∴x＝3或4或5， ∴原式＝0或1. 12.计算·(a>0，b≥0)的结果是　3　． 13.（河南汝州校级月考）当a＜0时，化简a·的结果是 　－4a2　． a·＝a＝a|4a|，∵a＜0，∴a·＝a|4a|＝－4a2. 14.计算： (1)·(a≥0)； (2)×； (3)2·(a≥0)； (4)3a·(a≥0，b≥0). (1)原式＝＝6a； (2)原式＝＝7； (3)原式＝2＝10a； (4)原式＝－2a＝－12ab. 15.（推理能力）先来看一个有趣的现象：＝＝＝2.这里根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：＝3，＝4等． (1)猜想：＝　5　，并验证你的猜想； (2)你能用一个正整数n(n≥2)来表示含有上述规律的等式吗？ (3)请你再写出一个具有“穿墙”性质的数． (1)＝5； 验证：＝＝＝5； (2)规律：＝n（n为正整数，n≥2）， 证明：＝＝＝n； (3)根据规律写出一个符合规律的式子：（答案不唯一）. 21.2.3　二次根式的除法 1.二次 ... ...